习题1
1． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
（1）x1＝451.023， x1＝451.01；
*（2）x2＝－0.045 113， x2＝－0.045 18；
**（3）x3＝23.421 3， x3＝23.460 4；
（4）x*4＝
1， x4＝0.333 3； 3*（5）x5＝23.496， x5＝23.494； *（6）x6＝96×105， x6＝96.1×105； *（7）x7＝0.000 96， x7＝0.96×10?3； *（8）x8＝－8 700， x8＝－8 700.3。
解：(1) x1?451.023 x1?451.01
*x1*1?x1?0.013??10?1，x1具有4位有效数字。x1?451.0
2*(2) x2??0.045 113 x2??0.045 18
11*?10?4?x2?x2?0.045 18?0.045113=0.000 067??10?3
22x2具有2位有效数字，x2??0.045
*(3)x3?23.4213 x3?23.4604
*x31?x3?23.4213?23.4604?23.4604?23.4213?0.0391??10?1
2x3 具有3位有效数字，x3?23.4 (不能写为23.5)
(4) x4?*1 ，x4?0.3333 3*x4?x4?0.000033???10?4 ,x4具有4位有效数字，x4?0.3333
*?23.496，x5?23.494 (5) x5121*x5?x5?23.496?23.494?0.002??10?2
2
x5 具有4位有效数字， x5?23.50 (不能写为23.49)
*?96?105?0.96?107 x6?96.1?105?0.961?107 (6) x61*x6?x6?0.001?10?7??10?2?10?7
2x6具有2位有效数字，x6?0.96?107?96?105
*?0.00096 x7?0.96?10?3 (7) x7**x7?0.96?10?3 x7?x7?0 x7精确 *??8700 x8??870.03 (8) x8*x81?x8?0.3??100 x8具有4位有效数字，x8??8700精确
22.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83;
(2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么？ 解：(1) x1=0.1062，x2=0.947，x1+x2=1.0532
11?4 e(x1)??10，e(x2)??10?3
22e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)?=0.00055
11?10?4??10?3 22**x1?x2?[1.0532?0.00055，1.0532+0.00055]=[1.05265，1.05375]
(2) x1=23.46， x2??12.753 x1?x2?10.707
11?2，??10??10?3 e(x1)e(x2)22e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)
11?2??10??10?3=0.0055 22**x1?x2?[10.707?0.0055, 10.707+0.0055]=[10.7015,10.7125]
(3) x1?2.747 x2?6.83 x1x2?18.76201,
11?3e(x1)??10, e(x2)??10?2
22e(x1x2)?x2e(x1)?x1e(x2)?x2e(x1)?x1e(x2)
111?6.83??10?3?2.747??10?2??10?2?(0.683+2.747)=0.01715
222**x1x2?[18.76201?0.01715,18.76201?0.01715]?[18.74486,18.77916]
(4) x1?1.473 , x2?0.064 , x1x2?23.015625
x111xe(x2) e(x1)??10?3, e(x2)??10?3 e(1x)?e(x1)?122x222x2e(x1x2)?x1111.4731?3?3e(x1)?1e(x)? ??10???10222x20.06422x20.064=0.187622
*x1*x2?[23.015625?0.187622, 23.015625+0.187622]
=[22.828003 , 23.203247]
3.对一元2次方程x2?40x?1?0，如果399?19.975具有5位有效数字，求其具有5位有效数字的根。
解：x2?40x?1?0
x2?40x?400?399
**x1?20?399 , x2?20?399?120?399
1记 x*?399 ,x?19.975 e(x)??10?3
21?x20=20+19.975=39.975 x1?e(x1)?e(x2)??10?3
2?
x1具有5位有效数字。
111 x2????0.0250156347?
20?x20?19.97539.975 e(x2)??e(x)(20?x)2 ，
1?3?10e(x)1?6?62e(x2)?? ?0.313?10??10222(20?x)39.975因而 x2具有5位有效数字。 x2?0.025016 也可根据 x1x2?1 得到 x2?11??0.0250156347? x139.9751?6?10e(x)e(x)e(x2)??21 e(x2)?21?2 2x139.975x14.若x1?0.937具有3位有效数字，问x1的相对误差限是多？设
f(x)?1?x，求f(x1)的绝对误差限和相对误差限。
1 解：x1?0.937 e(x1)??10?3
21?10?3e(x1)2er(x1)???0.534?10?3
x10.937f(x)?1?x ,f?(x)??1
21?xe(f)?f?(x)e(x)??11?e(x) , 21?xe(f(x1))?11111?e(x1)????10?3?0.996?10?3 21?x121?0.9372e(f)11e(x)， er(f)????21?xfer(f(x1))?11111?e(x1)????10?3 21?x121?0.9372 =0.00397?3.97?10?3 5.取
2.01?1.42，2.00?1.41试按A?2.01?2.00和
A?0.01(2.01?2.00)两种算法求A的值，并分别求出两种算法所得A的近似值的绝对误差限和相对误差限，问两种结果各至少具有几位有效
数字？
**?2.01 ，x1?1.42 ，x2 解：1) 记 x1=2.00 ，x2?1.41
则 e(x1)?11?10?2 ，e(x2)??10?2 22 A* ?2.01?2.00?1.42?1.41?0.01 A1?1.42?1.41?0.01
e(A1)?e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)
11e(A1)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)??10?2??10?2?10?2
22
《数值分析》习题解答1东南大学
