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课时作业(二十一) 用向量方法解决
平行与垂直问题
A组 基础巩固 1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A．(0，－3,1) B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1) 解析：问题即求与n共线的一个向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)． 答案：D 2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于( ) A．3 B．6 C．－9 D．9 解析：∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0， ∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9. 答案：C 3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( ) A．(1,1，－1) B．(1，－1,1) C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1) →→解析：AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)． ??－x＋y＝0，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有? ?－x＋z＝0，?取x＝－1，则y＝－1，z＝－1. 故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)． 答案：D 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( ) A．AC B．BD C．A1D D．A1A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1. ?11?则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E?，，1?， ?22?→11??∴CE＝?，－，1?， 2??2→→AC＝(－1,1,0)，BD＝(－1，－1,0)， →→A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)． →→1?1?∵CE·BD＝(－1)×＋(－1)×?－?＋0×1＝0， 2?2?∴CE⊥BD. 答案：B 5．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( ) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 解析：∵v＝－3u，∴α∥β. 答案：A →→→→→→6．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面→ABC，则BP等于( ) 15?15?33?33?A.?，－，4? B.?，－，－3? 77?7??7?15?40??4015?C.?，－，－3? D.?，，－3? 7?7??77?→→解析：由AB·BC＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4. →又BP⊥平面ABC， →?→BP·AB＝0，∴?→→?BP·BC＝0， ??x－1＋5y＋6＝0，即??3x－3＋y－12＝0，? ??解得?15y＝－.??7x＝，答案：C 407 →→7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，→→→→AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是__________． →→解析：由于AP·AB＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， →→AP·AD＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0， 所以①②③正确． 答案：①②③ 8．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________． →→解析：由OP⊥OQ，得OP·OQ＝0. 即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0. 1∴cosx＝0或cosx＝. 2ππ∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝. 23ππ答案：或 23 9．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________. 解析：建立如图所示的坐标系， 则B1(0,0,3a)， 2a?2a?D?，，3a?，C(0，2a,0)． 2?2? 设E(2a,0，z)(0≤z≤3a)， →则CE＝(2a，－2a，z)， →B1E＝(2a,0，z－3a)． 22由题意得2a＋z－3az＝0， 解得z＝a或2a. 故AE＝a或2a. 答案：a或2a 10．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系． 设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是?2??2，，0?，(0,0,1)， 2?2?→22??∴NE＝?－，－，1?. 2?2?又点A，M的坐标分别是(2，2，0)，?2??2，，1?， 2?2?→22??∴AM＝?－，－，1?. 2?2?→→∴NE＝AM，且NE与AM不共线． ∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDE. →22??(2)由(1)知AM＝?－，－，1?， 2?2?→∵D(2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)． →→→→∴AM·DF＝0.∴AM⊥DF. →→同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF. B组 能力提升 →→11．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量OA，OB，下列关系中能表示l∥α的是( ) →→A．a＝OA B．a＝kOB →→C．a＝pOA＋λOB D．以上均不能 解析：A、B、C均能表示l∥α或l?α. 答案：D 12．如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________． 解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz， 则D(0，a,0)． 设Q(1，x,0)(0≤x≤a)． P(0,0，z)． →则PQ＝(1，x，－z)， →QD＝(－1，a－x,0)． 由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0， 2即x－ax＋1＝0. 由题意知方程x－ax＋1＝0只一解． 2∴Δ＝a－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]． 答案：2 13．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论． 2解析：存在．证明如下：当F是棱PC的中点时， BF∥平面AEC. →→1→→1→→∵BF＝BC＋CP＝AD＋(CD＋DP) 22→1→→3→→3→1→＝AD＋(AD－AC)＋(AE－AD)＝AE－AC 2222→→→∴BF，AE，AC共面． 又BF?平面AEC，∴BF∥平面AEC. 14．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD. 证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标?11?系D－xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E?0，，?. ?22?→∴PB＝(1,1，－1)， →?11?DE＝?0，，?， ?22?→1??1EB＝?1，，－?，设F(x，y，z)， 2??2→则PF＝(x，y，z－1)，
人教版 高中数学【选修 2-1】第3章空间向量与立体几何21《用向量方法解决平行与垂直问题课时作业
