高等数学第六版（上册）第三章课后习题答案及解析
习题3?1
1?验证罗尔定理对函数y?ln sin x在区间[?, 5?]上的正确性?
66解因为y?ln sin x在区间[?, 5?]上连续?在(?, 5?)内可导?且y(?)?y(5?), 所
666666以由罗尔定理知?至少存在一点??(?, 5?)?使得y?(?)?cot ??0?
66由y?(x)?cot x?0得??(?, 5?)?
266因此确有????(?, 5?)?使y?(?)?cot ??0?
266 2?验证拉格朗日中值定理对函数y?4x3?5x2?x?2在区间[0? 1]上的正确性? 解因为y?4x3?5x2?x?2在区间[0? 1]上连续?在(0? 1)内可导?由拉格朗日中值定理
y(1)?y(0)?0? 知?至少存在一点??(0? 1)?使y?(?)?1?0由y?(x)?12x2?10x?1?0得x?5?13?(0, 1)?
12y(1)?y(0)因此确有??5?13?(0, 1)?使y?(?)??
1?012 3?对函数f(x)?sin x及F(x)?x?cos x在区间[0, ?]上验证柯西中值定理的
2正确性?
解因为f(x)?sin x及F(x)?x?cos x在区间[0, ?]上连续?在(0, ?)可导?且
22F?(x)?1?sin x在(0, ?)内不为0?所以由柯西中值定理知至少存在一点??(0, ?)?
22使得
f(?)?f(0)f?(?)2? ???F()?F(0)F(?)2?)?f(0)f(f?(x)令?即cosx?2? ?2F?(x)F(?)?F(0)1?sinx??22888?10??1?1sinx??1在化简得sinx??易证?所以
(??2)2?4(??2)2?4(??2)2?4 1
(0, ?)内有解?即确实存在??(0, ?), 使得 22f(?)?f(0)f?(?)2? ???F(?)F()?F(0)2 4?试证明对函数y?px2?qx?r应用拉格朗日中值定理时所求得的点?总是位于区间的正中间?
证明因为函数y?px2?qx?r在闭区间[a?b]上连续?在开区间(a?b)内可导?由拉格朗日中值定理?至少存在一点??(a?b)?使得y(b)?y(a)?y?(?)(b?a)?即 (pb?qb?r)?(pa?qa?r)?(2p??q)(b?a)? 化间上式得
2
2
p(b?a)(b?a)?2p? (b?a)? 故??a?b?
2 5?不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根?并指出它们所在的区间?
解由于f(x)在[1? 2]上连续?在(1? 2)内可导?且f(1)?f(2)?0?所以由罗尔定理可知?存在?1?(1? 2)?使f?(?1)?0?同理存在?2?(2? 3)?使f?(?2)?0?存在?3?(3? 4)?使
f?(?3)?0?显然?1、?2、? 3都是方程f?(x)?0的根?注意到方程f?(x)?0是三次方程?它至多能有三个实根?现已发现它的三个实根?故它们也就是方程f?(x)?0的全部根?
6?证明恒等式?arcsinx?arccosx??(?1?x?1)?
2证明设f(x)? arcsin x?arccos x?因为
f?(x)?1?1?0? 1?x21?x2所以f (x)?C?其中C是一常数?
因此f(x)?f(0)?arcsinx?arccosx???即arcsinx?arccosx???
22 7?若方程a0xn?a1xn?1?????an?1x?0有一个正根x0?证明方程
a0nxn?1?a1(n?1)xn?2 ?????an?1 ?0 必有一个小于x0的正根?
证明设F(x)?a0xn?a1xn?1?????an?1x?由于F(x)在[0?x0]上连续?在(0?x0)内可导?且
F(0)?F(x0)?0?根据罗尔定理?至少存在一点??(0?x0)?使F?(?)?0?即方程 a0nxn?1?a1(n?1)xn?2 ?????an?1 ?0 必有一个小于x0的正根?
2
8?若函数f(x)在(a?b)内具有二阶导数?且f(x1)?f(x2)?f(x3)?其中
a?x1?x2?x3?b?证明?
在(x1?x3)内至少有一点??使得f??(?)?0?
证明由于f(x)在[x1?x2]上连续?在(x1?x2)内可导?且f(x1)?f(x2)?根据罗尔定理?至少存在一点?1?(x1?x2)?使f?(?1)?0?同理存在一点?2?(x2?x3)?使f?(?2)?0? 又由于f?(x)在[?1??2]上连续?在(?1??2)内可导?且f?(?1)?f?(?2)?0?根据罗尔定理?至少存在一点??(?1??2)?(x1?x3)?使f??(? )?0? 9?设a?b?0?n?1?证明?
nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b) ?
证明设f(x)?xn?则f(x)在[b?a]上连续?在(b?a)内可导?由拉格朗日中值定理?存在
??(b?a)?使
f(a)?f(b)?f?(?)(a?b)?即an?bn?n?n?1(a?b)? 因为nbn?1(a?b)?n?n?1(a?b)? nan?1(a?b)? 所以nbn?1(a?b)?an?bn? nan?1(a?b) ? 10?设a?b?0?证明?
a?b?lna?a?b? abb证明设f(x)?ln x?则f(x)在区间[b?a]上连续?在区间(b?a)内可导?由拉格朗日中值定理?存在??(b?a)?使
f(a)?f(b)?f?(?)(a?b)?即lna?lnb?1(a?b)?
?因为b???a?所以
1(a?b)?lna?lnb?1(a?b)?即a?b?lna?a?b?
abbab 11?证明下列不等式?
(1)|arctan a?arctan b|?|a?b|? (2)当x?1时?ex?e?x?
证明 (1)设f(x)?arctan x?则f(x)在[a?b]上连续?在(a?b)内可导?由拉格朗日中值定理?存在??(a?b)?使
f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?即arctanb?arctana?12(b?a)?
1??所以|arctanb?arctana|?12|b?a|?|b?a|?即|arctan a?arctan b|?|a?b|?
1?? (2)设f(x)?ex?则f(x)在区间[1?x]上连续?在区间(1?x)内可导?由拉格朗日中值定理?存在??(1?x)?使
f(x)?f(1)?f?(?)(x?1)?即ex?e?e?(x?1)? 因为??1?所以
3
ex?e?e?(x?1)?e(x?1)?即ex?e?x?
12?证明方程x5?x?1?0只有一个正根?
证明设f(x)?x5?x?1?则f(x)是[0???)内的连续函数?
因为f(0)??1?f(1)?1?f(0)f(1)?0?所以函数在(0? 1)内至少有一个零点?即
x5?x?1?0至少有一个正根?
假如方程至少有两个正根?则由罗尔定理?f?(x)存在零点?但f?(x)?5x4?1?0?矛盾?这说明方程只能有一个正根?
13?设f(x)、g(x)在[a?b]上连续?在(a?b)内可导?证明在(a?b)内有一点??使
f(a)f(b)f(a)f?(?)?(b?a)?
g(a)g(b)g(a)g?(?)解设?(x)?f(a)f(x)?则?(x)在[a?b]上连续?在(a?b)内可导?由拉格朗日中值定
g(a)g(x)理?存在??(a?b)?使
?(b)??(a)???(?)(b?a)? 即
?[f(a)]?f(?)f(a)f?(?)?f(a)f(b)f(a)f(a)? ??(b?a)?????g(a)g(b)g(a)g(a)[g(a)]g(?)g(a)g(?)??f(a)f(b)f(a)f?(?)?(b?a)?
g(a)g(b)g(a)g?(?)因此
14?证明?若函数?f(x)在(?????)内满足关系式f ?(x)?f(x)?且f(0)?1则
f(x)?ex?
f(x)?则在(?????)内有 exf?(x)ex?f(x)e2f(x)ex?f(x)e2??(x)???0?
e2xe2x所以在(?????)内?(x)为常数?
证明令?(x)?因此?(x)??(0)?1?从而f(x)?ex?
15?设函数y?f(x)在x?0的某邻域内具有n阶导数?且f(0)?f ?(0)?????f
(n?1)
(0)?0?试用柯西中值定理证明?
f(x)f(n)(?x)? (0???1)?
n!xn证明根据柯西中值定理
f(x)f(x)?f(0)f?(?1)??n?1(?1介于0与x之间)?
x?0xnn?1 4
f?(?1)f?(?1)?f?(0)f??(?2)(?2介于0与?1之间)? ??n?2n?1n?1n?1n?1?n?0n?1n(n?1)?2f???(?3)f??(?2)f??(?2)?f??(0)(?3介于0与?2之间)? ??n?2n?2n?3n(n?1)?2n(n?1)?2?n(n?1)?0n?2n(n?1)(n?2)?3依次下去可得
f(n?1)(?n?1)f(n?1)(?n?1)?f(n?1)(0)f(n)(?n)(?n介于0与?n?1之间)? ??n(n?1)? ? ? 2??n?1n(n?1)? ? ? 2??n?1?n(n?1)? ? ? 2?0n!f(x)f(n)(?n)所以n??
n!xf(x)f(n)(?x)由于?n可以表示为?n??x (0???1)?所以n? (0???1)?
n!x
习题3?2
1?用洛必达法则求下列极限?
ln(1?x) (1)lim?
x?0xx?xe?e (2)lim?
x?0sinx (3)limsinx?sina?
x?ax?a (4)limsin3x?
x??tan5x (5)limlnsinx2?
x??(??2x)2mmx?a (6)limnn?
x?ax?a (7)limlntan7x?
x??0lntan2x (8)limtanx?
x??tan3x2ln(1?1)x? (9)limx???arccotxln(1?x2) (10)lim?
x?0secx?cosx (11)limxcot2x?
x?0 5
高等数学第六版(上册)第三章课后习题答案
