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平面向量的实际背景及基本概念
[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
知识点一 向量的概念
数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．
注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题． ②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 思考 已知下列各量：
①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有________________，是向量的有________________． 答案 ②④⑤⑨⑩ ①③⑥⑦⑧ 知识点二 向量的表示方法
(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．
→以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.
→
(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c，…，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用a， →→ b， c)．
→→→→
(3)向量AB的大小：也就是向量AB的长度(或称模)，即有向线段AB的长度，记作|AB|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
思考 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________． 答案 单位圆
知识点三 相等向量与共线向量
(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
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(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． ①记法：向量a平行于b，记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行．
(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆． 思考 向量平行具备传递性吗？
答案 向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c?a∥c.因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．
题型一 向量的基本概念
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由． ①若a≠b，则a一定不与b共线；
→→
②若AB＝DC，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点； →→
③在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC； ④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，→→
故①不正确．②AB＝DC，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行→→→→→→
四边形ABCD中，|AB|＝|DC|，AB与DC平行且方向相同，故AB＝DC，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确．若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确．
跟踪训练1 下列说法正确的有________． (1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
→→
(2)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上； →→
(3)向量AB与BA是平行向量； (4)任何两个单位向量都是相等向量．
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答案 (3)
解析 (1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
→→
(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB、CD必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上． →→
(3)正确．向量AB和BA是长度相等，方向相反的两个向量．
(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．
题型二 向量的表示及应用
例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点． →→→(1)作出向量AB、BC、CD； →(2)求|AD|.
→→→
解 (1)向量AB、BC、CD如图所示．
→→→→
(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线， →→又|AB|＝|CD|，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD. ∴四边形ABCD为平行四边形． →→→→
∴AD＝BC，∴|AD|＝|BC|＝200 km.
跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略)．
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题型三 平行向量与共线向量
例3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点． (1)写出与EF→
共线的向量； (2)写出与EF→
的模大小相等的向量； (3)写出与EF→
相等的向量．
解 (1)因为E、F分别是AC、AB的中点， 所以EF綊1
2BC.又因为D是BC的中点，
所以与EF→
共线的向量有：
FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→. (2)与EF→
模相等的向量有： FE→，BD→，DB→，DC→，CD→. (3)与EF→
相等的向量有： DB→与CD→.
跟踪训练3 如图，已知四边形ABCD为?ABCD，则 (1)与OA→
的模相等的向量有多少个？ (2)与OA→
的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与AB→
共线的向量．
解 (1)与OA→的模相等的向量有AO→，OC→，CO→
三个向量． (2)与OA→的模相等且方向相反的向量为OC→，AO→. (3)与AB→共线的向量有DC→，CD→，BA→.
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对向量的有关概念理解不清致误
例4 下列说法正确的个数是( )
①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
错解 向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量． 答案 B或C或D
错因分析 对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．
正解 事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确． 答案 A
1．下列说法错误的是( )
A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量是没有方向的 C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的 2．下列说法正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a与b共线 D．若a≠b，则a一定不与b共线 →→
3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB与DC的关系是( ) →→A.AB＝DC
→→B．|AB|＝|DC|
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必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)
