课时作业26 平面向量的数量积及其应用
一、选择题
1．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ等于( )．
11
A．－2 B．2 C． D．－
22
2．设a，b都是单位向量，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝( )． A．3 B．3 C．2 D．2
→→→→→
3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)等于( )．
4444A．－ B．－ C． D．
93394．(2012重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )． A．5 B．10 C．25 D．10
5．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )． A．1 B．2 C．3 D．4
→→→→
6．平面上有四个互异的点A，B，C，D，满足(AB－BC)·(AD－CD)＝0，则三角形ABC是( )．
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7．(2012浙江高考)设a，b是两个非零向量．( )． A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| 二、填空题
8．(2013届山师大附中期中)与向量a＝(3,4)垂直的单位向量的坐标是________． 9．在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c向量m＝(cos A，sin A)，n＝(2－sin A，cos A)，若|m＋n|＝2，则角A等于__________．
π
10．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2
3
＝________.
三、解答题
3??1
11．已知平面向量a＝?－，?，b＝(－3，－1)．
?22?
(1)求证：a⊥b；
22
(2)若存在不同时为零的实数k、t，使x＝a＋(t－2)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试把k表示为t的函数．
π
12．已知向量m＝(sin B,1－cos B)，且与向量n＝(2,0)的夹角为，其中A，B，C3
是△ABC的内角．
(1)求角B的大小；
(2)求sin A＋sin C的取值范围．
1
参考答案
一、选择题
1．D 解析：由(a＋λb)·b＝0，
2
得a·b＋λ|b|＝0得1＋2λ＝0，
1
∴λ＝－.
2
222
2．B 解析：|a＋b|＝a＋2a·b＋b＝1＋2×1×1×cos 60°＋1＝3， ∴|a＋b|＝3.
3．A 解析：由题知P为△ABC的重心， 则PB＋PC＝?PA.
则PA·(PB＋PC)＝?PA
42
＝－|PA|＝－.
9
4．B 解析：因为a⊥b，所以a·b＝x－2＝0，解得x＝2，a＝(2,1)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝10，故选B.
5．D 解析：∵a＋b与a共线，∴a＋b＝λa，即(1＋2，k＋2)＝λ(1，k)．
由?2???3,?3??,解得?故a＝(1,1)，则a·b＝1×2＋1×2＝4.
?k?1.?k?2?k?,2
2
6．B 解析：由(AB－BC)·(AD－CD)＝0，得(AB－BC)·(AD＋DC)＝0，即(AB－BC)·AC＝0，(AB－BC)·(AB＋BC)＝0，即AB－BC＝0，|AB|＝|BC|，
故三角形ABC为等腰三角形．
222
7．C 解析：由|a＋b|＝|a|－|b|两边平方可得，|a|＋2a·b＋|b|＝|a|－2|a||b|2
＋|b|，即a·b＝－|a||b|，
∴cos〈a，b〉＝－1，即a与b反向，根据向量共线定理，则存在实数λ，使得b＝λa. 二、填空题
3??43??4
8．?，－?或?－，? 解析：设向量坐标为(x，y)，
5??55??5
??3x＋4y＝0，
则满足?22
?x＋y＝1，?
4x＝，??5解得?3
y＝－??5
4
x＝－，??5或?3
y＝??5，
3??43??4
即所求向量坐标为?，－?或?－，?.
5??55??5
π
9． 解析：m＋n＝(2＋cos A－sin A，cos A＋sin A)
4|m＋n|＝(2＋cos A－sin A)＋(cos A＋sin A)
?π?＝4－4sin?A－?
4??
?π?∵|m＋n|＝2，∴sin?A－?＝0，
4??ππ3π
又∵0＜A＜π，∴－＜A－＜，
444
2
2
2
ππ∴A－＝0，A＝.
44
π
10．－6 解析：∵〈e1，e2〉＝，|e1|＝1，|e2|＝1，
3
22∴b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|－2e1·e2－8|e2|
π
＝3－2cos－8＝3－1－8＝－6.
3
三、解答题
3??1?3??1?11．(1)证明：a·b＝?－，?·(－3，－1)＝?－?×(－3)＋??×(－1)＝0，
?2??22??2?
∴a⊥b.
(2)解：∵x⊥y，∴x·y＝0，
22222222
即[a＋(t－2)b]·(－ka＋tb)＝0.展开得－ka＋[t－k(t－2)]a·b＋t(t－2)b＝0，
∵a·b＝0，a＝|a|＝1，b＝|b|＝4，
22
∴－k＋4t(t－2)＝0.
22
∴k＝f(t)＝4t(t－2)．
π
12．解：(1)∵m＝(sin B,1－cos B)与向量n＝(2,0)所成夹角为.
3
πm·n∴cos ＝
3|m||n|2sin Bsin B1＝＝＝. 2·2－2cos B2－2cos B2
2
2
2
2
B1解得cos＝，
22
Bπ
又0＜B＜π，∴0＜＜.
22
Bπ2π∴＝，从而B＝. 233
π
(2)由(1)可得A＋C＝.
3
∴sin A＋sin C＝sin A＋sin?
?π－A?＝1sin A＋3cos A＝sin?A＋π?.
?2?3?2?3???
πππ2π
∵0＜A＜，∴＜A＋＜，
3333∴
3?π?＜sin?A＋?≤1.
3?2?
即sin A＋sin C的取值范围为?
?3?
，1?. ?2?
3
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第五章 平面向量5.3平面向量的数量积及其应用试题 理(含解析)新人教A
