暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
考点： 一次函数的应用． 分析： （1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可； （2）利用函数交点坐标求法分别得出即可； （3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案． 解答： 解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x； （2）由题意可得：当10x+150=20x， 解得：x=15，则y=300， 故B（15，300）， 当y=10x+150，x=0时，y=150，故A（0，150）， 当y=10x+150=600， 解得：x=45，则y=600， 故C（45，600）； （3）如图所示：由A，B，C的坐标可得： 当0＜x＜15时，普通消费更划算； 当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当15＜x＜45时，银卡消费更划算； 当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通片合算； 当x＞45时，金卡消费更划算． 点评： 此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键． 22．（10分） 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
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（1）问题发现 ①当α=0°时，（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
= ；②当α=180°时，
= ．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长． 考点： 几何变换综合题． 分析： （1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出多少． ②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据可求出的值是多少，进而判断出，求出的值是多少即可． 的值是，判断出△ECA∽△DCB，即的大小没有变化即可． （3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可． 解答： 解：（1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴∴ ． ， ， ②如图1，当α=180°时， ， 第17页（共21页）
可得AB∥DE， ∵∴， =． ． 故答案为： （2）如图2，当0°≤α＜360°时，∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵， ， 的大小没有变化， ∴△ECA∽△DCB， ∴ ． （3）①如图3，∵AC=4∴AD=，CD=4，CD⊥AD， =， ， ∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴． ②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC第18页（共21页）
于点P，∵AC=4∴AD=， ，CD=4，CD⊥AD， =， 在△ABC和△CDA中， ∴BP=DQ，BP∥DQ，PQ⊥DQ， ∴四边形BDQP为矩形， ∴BD=PQ=AC﹣AP﹣CQ ==． 或． 综上所述，BD的长为4点评： （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握． （2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握． （3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握． 23．（11分） 如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE． （1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A会点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．
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考点： 二次函数综合题． 分析： （1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可； （3）根据题意当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，进而得出P点坐标以及利用△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，进而得出答案． 解答： 解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A， ∴C（0，8），A（﹣8，0）， 2设抛物线解析式为：y=ax+c， 则， 解得： 2故抛物线的解析式为：y=﹣x+8； （2）正确， 理由：设P（a，﹣a+8），则F（a，8）， ∵D（0，6）， ∴PD=PF=8﹣（﹣a+8）=a， ∴PD﹣PF=2； （3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小， ∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2， ∴PE+PD=PE+PF+2， ∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小， 此时点P，E的横坐标都为﹣4， 将x=﹣4代入y=﹣x+8，得y=6， 第20页（共21页）
2222==a+2， 2
∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点， ∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（﹣4，6）， 由（2）得：P（a，﹣a+8）， ∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0）， ∴设直线DE的解析式为：y=kx+b， 则， 2解得： ∴lDE：y=x+6， 则PE=﹣a+8﹣a﹣6， ∴S△PDE=×4×（﹣a+8﹣a﹣6） =﹣a﹣3a+4 =﹣（a+6）+13， ∵﹣8≤a≤0， ∴4≤S△PDE≤13， ∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个， 所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个， 综上所述：11个好点，P（﹣4，6）． 2222 点评： 此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键．
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2015年河南省普通高中招生考试试卷数学（含答案）word版
