角相等，此等角记为???0,90??，则直线l的条数构成的集合为 .
（第十五届高二培训题第38题）
解 当??0o,90o??时，若??90，则l只有1条； 当??30时，若??60，则l有2条； 当??60时，若??60，则l有3条； 当??80时，若??60，则l有4条； 故所求的集合为1,2,3,4?.
oo评析 异面直线a,b所成角为?，则??0o,90o??，l和a,b成等角??0,90??，这里
oo??oo??ooooo???的?、?都不确定,因而有无数种情形,比如??50,??30;??20,??70等等.显然，不可能也没有必要对所有情形一一加以讨论．因此，如何选择一些特殊情形来代表一般就成了解决问题的关键．直线l的条数只能是自然数0,1,2,L,故我们只需看l的条数有无可能是
oooo0,1,2,L．并且当我们确定??60o,??60o时有3条后就不必再考虑l有3条的其他情形
了．a,b是异面直线，在a上任取一点O，过O作b?∥b，因为l与a,b成等角?，所以l与
a,b?也成等角?．当l不过点O时，过点O作l?∥l，因为l与a,b?成等角?，所以l?与a,b?也
成等角?．至此，问题转化为：相交直线a,b?所成角为?，??0o,90o??，过a,b?的交点O且与a,b?成等角???0,90??的直线l?有几条？此时，问题已变得简单多了．
oo?拓展 将题中异面直线改为任意两直线，将?的范围扩大为?0,90??，我们有下面的
???oo?结论１ 已知空间两直线a,b所成的角为?，过空间任意一点P且与a,b成等角?的直线为l．
1. 若??0，则
(1) 当??0时, l只有一条．
(2) 当???0,?时，l有无数条．
2????? 2.若??0，则
(1)当0????时, l不存在． 2????或??时, l只有1条． 242??????(3)当???或???时, l只有2条．
2422????(4)当???时, l有3条．
22????(5)当???时, l有4条．
22(2)当??如果将直线a,b改为平面?与平面?,我们又有下面的
结论2 已知平面?与平面?所成的角为?,过空间任意一点P且与平面?,?成等角?的直线为l．
1.若??0，则
(1)当???时, l只有一条． 2????时，l有无数条． 2??(2)当???0, 2.若??0，则
???????时, l不存在． 22????(2)当??0或??且??时, l只有1条．
22??????(3)当??且??,或???时, l有2条．
2222??(4)当??且??时, l有3条．
22?(5)当0???时, l有4条．
2(1)当练习
1． 已知异面直线a,b所成的角为50,P为空间一点，则过点P且与a,b所成角为下列各角的直线l分别有多少条?
(1) 15 ；(2) 25；(3) 30；(4) 65；(5) 80；(6) 90. 2． 已知平面?与平面?所成的角为为下列各角的直线l分别有多少条? (1) 0 ；(2)
ooooooo?，P为空间任意一点，则过点P且与?,?所成角32??????；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) .
396532 答案 1.(1) 不存在,(2) 1条,(3) 2条,(4) 3条,(5) 4条,(6) 1条；
2.(1)1条 ；(2) 4条；(3) 3条；(4) 2条；(5) 1条；(6)不存在；(7)不存在.
题67 空间给定不共面的A,B,C,D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面?：A,B,C,D中有三个点到?的距离相同，另一个点到?的距离是前三
个点到?的距离的2倍，这样的平面?的个数是 （ ）
A、15 B、23 C、26 D、32
（第三届高一第二试第6
题）
解 分三种情形：①A,B,C,D四点在?的同侧，平面?可与?ABC、?ACD、?ADB、
?BCD中的任一个平面平行，譬如当?∥面BCD时，A与面BCD的距离等于?与面BCD的距离.这种情况下有4个平面.②A,B,C,D中有3个点在?的一侧，第4个点在?的另一侧.这时又有两种情形：一种是?与面BCD平行，且A与?的距离是?与面BCD距离的2倍.这时有4个平面；另一种情形如图1所示，图中E、F分别是AB、AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，在图1的情形中，A,B,C到平面EFK（即平面?）的距离是D到平面EFK距离的一半.因为EF可以是
K A E B 图1 F C D AB、AC的中点连线，又可以是AB、BC,AC、BC的中点连线，所
以这种情形下的平面?有3?4?12个.③A,B,C,D四点中，?两侧各有两点（如图2），图中的E、F分别是CB、CD的中点，M、N分别是DA、BA的三等分点中靠近D、B的分点.容易看出：A点到平面EFMN（平面?）的距离是B,C,D到该平面距离的2倍.就A,C与B,D分别位于?两侧的情形来看，就有A离
A N B M D ?远，B离?远，C离?远，D离?远这四种情况.又因AC,BD异
面，这样的异面直线共有3对，因此平面?有4?3?12个.
E F 综上分析，平面?有4+4+12+12=32个.故选D.
C 评析 此题源于一道常见题：“与四面体四个顶点距离相等的平面
图2 有 个”.不过比常见问题要复杂得多.解决此题的关键是要把所
有的情形适当分类，既不能遗漏，又不能重复.解题时稍不注意就会将
图1所示的第②类情形中的第二种情形遗漏掉.对于第③类情形，往往又容易疏忽，而导致不乘以3，误以为平面?只有4个.用排列组合知识解此题：第①类情形，?有C4个；第②类情
1形中的第一种情形，?有C个，第二种情形，?有CC141423个；第③类情形，
2C4?有C?个.
2!141112故所求平面?有C4?C4?C4?C3?
2C4C?=4+4+12+12=32个.
2!14??题68
O为空间一点，射线OA、OB、OC交于点O，∠AOB=∠BOC=60，∠COA=90，
则二面角A-OB-C的平面角的余弦函数值是________.
（第五届高一第一试第15
题）
解 如图，在射线OB上取点D，过D作DE⊥OB交OA
B 于E，作DF⊥OB交OC于F，连结EF，则∠EDF就是二面角
D ?A-OB-C的平面角.设OD=a,Q∠DOC=∠DOE=60,
F
O ??DE=DF=3a,OE=OF=2a.Q∠EOF=90?EF=22a C 在?DEF中，由余弦定理得
E 2cos?EDF?DE?DF?EF
2?DE?DF22A 1(3a)2?(3a)2?(22a)2= = ?为所求.
32?3a?3a评析 解决此题的关键有两个：一是如何作出二面角A-OB-C的平面角；二是如何求平面
角的余弦值.上述解法运用二面角的平面角的定义作出了二面角A-OB-C的平面角后通过解三角形求出了平面角的余弦值.这是求二面角的最基本也是最常用的方法.求二面角的大小通常要经历作、证、算三个阶段.
拓展 将此题条件一般化，可得下面的
推广 O为空间一点，射线OA、OB、OC交于点O，若∠AOB=?，∠BOC=?，∠AOC=?，二面角A-OB-C的大小为?，则cos??cos??cos?cos?.
sin?sin?B
D F C
E A 证明 如图，在OB上取点D，使OD=a，以点D为垂足作DE?OB交OA于点E，DF?OB交OC于F，连结EF，则?EDF就是二面角A-OB-C的平面角，即
?EDF=?.在Rt?ODE中，DE=atan?，OE=Rt?ODF中, DF=atan?, OF=
a.在cos?O
a.在?DEF中，由余cos?DE2?DF2?EF2弦定理，得cos??
2?DE?DF?atan????atan???22?a2a22a2cos????()?()?cos?cos?cos???cos??=cos??cos?cos?.
sin?sin?2a2tan?tan???cos90??cos60?cos60?1令推广中的????60，??90得cos??就是本赛题????sin60sin603的答案.
再看一个应用该推广解题的例子.
例 在正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，沿MN把这个正方形纸片折成以MN为棱的二面角A-MN-C，使折后的锐角?BMC的正弦值是0.6，这时二面角A-MN-C的平面角是 （ ）
A、90 B、 60 C、45 D、30 （第五届高一第二试第3题）
解 设二面角A-MN-C的大小为?，正方形的边长为a，在A ????Rt?BNM与Rt?CNM中，sin?BMN?sin?CMN?2，由推广得 cos?BMN?cos?CMN?51， 5B
M N
D cos??cos?BMC?cos?BMN?cos?CMN?sin?BMN?sin?CMN0.8?22?55?011?55C ，???90.故选A.
题69 在四面体ABCD中，面BAC、CAD、DAB都是以A为顶点的等腰直角三角形，且腰长为a.过D作截面DEF交面ABC于EF，若EF∥BC，且将四面体的体积二等分，则面DEF与面BCD的夹角等于________.
（第十三届高二第二试第19
题）
解 如图，取EF，BC的中点P，Q，连结AQ，则P在AQ上.连结DP，DQ.在面BCD内过D作直线l∥BC，因为EF∥BC，所以l∥EF，所以l为面DEF与面BCD的交线，由已知，易得DQ⊥BC，DP⊥EF，所以DQ⊥l，DP⊥
?A E P B Q C F D l l，所以?PDQ就是面DEF与面BCD的夹角.
由VD?AEF?VD?BCEF，可知S?AEF?1S?ABC.于是2
高中数学全国希望杯竞赛模拟试题（七）
