上海民办平和学校数学几何模型压轴题检测题（Word版 含答案）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．
（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．
（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．
（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．
【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32． 【解析】 【分析】
（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE（SAS）即可解决问题；
（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；
（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C共线时，分别求解即可． 【详解】
解：（1）结论：DE＝2DG．
理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°， ∵∠AEF＝∠B＝90°，
∴EF∥CM， ∴∠CMG＝∠FEG， ∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF， ∴△CMG≌△FEG（AAS）， ∴EF＝CM，GM＝GE， ∵AE＝EF， ∴AE＝CM，
∴△DCM≌△DAE（SAS）， ∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM， ∴∠EDM＝∠ADC＝90°， ∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM， ∴△EGD是等腰直角三角形， ∴DE＝2DG．
（2）如图2中，结论成立．
理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．
∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM， ∴△CGM≌△FGE（SAS）， ∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF， ∴CM∥ER， ∴∠DCM＝∠ERC， ∵∠AER+∠ADR＝180°， ∴∠EAD+∠ERD＝180°， ∵∠ERD+∠ERC＝180°， ∴∠DCM＝∠EAD， ∵AE＝EF， ∴AE＝CM，
∴△DAE≌△DCM（SAS）， ∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM， ∴∠EDM＝∠ADC＝90°， ∵EG＝GM， ∴DG＝EG＝GM，
∴△EDG是等腰直角三角形，
∴DE＝2DG．
（3）①如图3﹣1中，当E，F，C共线时，
在Rt△ADC中，AC＝AD2?CD2＝52?52＝52，
在Rt△AEC中，EC＝AC2?AE2＝(52)2?12＝7， ∴CF＝CE﹣EF＝6，
1CF＝3， 2∵∠DGC＝90°，
∴CG＝
∴DG＝CD2?CG2＝52?32＝4， ∴DE＝2DG＝42．
②如图3﹣3中，当E，F，C共线时，同法可得DE＝32．
综上所述，DE的长为42或32． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．如图，在矩形ABCD中，AB?6cm，AD?8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A?B?D?（B′与B重合），且点D?刚好落在BC的延长上，A?D?与
CD相交于点E．
（1）求矩形ABCD与△A?B?D?重叠部分（如图1中阴影部分A?B?CE）的面积； （2）将△A?B?D?以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时
停止移动．设矩形ABCD与△A?B?D?重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA?B?成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
16?323?x?x?24(0?x?)??245225cm；（2）y??【答案】（1）；（3）存在，使得
880200162?x2?x?(?x?4)?335?3366?9． △AA?B?成为等腰三角形的x的值有：0秒、秒、25【解析】 【分析】
（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出B?D??BD?10cm，
CD??B?D??BC?2cm，利用?B?D?A?的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即
可求阴影部分的面积；
1616?x?4时，分别列出函数表达式； （2）分类讨论，当0?x?时和当
55（3）分类讨论，当AB??A?B?时；当AA??A?B?时；当AB??AA?时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】
解：（1）AB?6cm，AD?8cm， ?BD?10cm，
根据旋转的性质可知B?D??BD?10cm，CD??B?D??BC?2cm，
A?B?CEtan?B?D?A???，
A?D?CD?6CE??， 823?CE?cm，
2?SA?B?CE?SA?B?D??SCED??（2）①当0?x?8?6345?2??2??cm2?； 222163时，CD??2x?2，CE?x， 52
?S△CD?E?323x+x， 221333?y??6?8?x2??x2?x?24；
2222②当
164?x?4时，BC?10?2x，CE??10?2x? 53148802002?y???10?2x??x2?x?．
23333（3）①如图1，当AB??A?B?时，x?0秒；
②如图2，当AA??A?B?时，A?N?BM?BB??B?M?2x?1824，A?M?NB?， 55AN2?A?N2?36，
24??18????6????2x???36，
5??5??解得：x?2266?9?66?9秒，（x?舍去）； 55③如图2，当AB??AA?时，A?N?BM?BB??B?M?2x?1824，A?M?NB?， 55AB2?BB?2?AN2?A?N2
24??18???36?4x2??6????2x??
5??5??解得：x?223秒． 2366?9秒、． 25综上所述：使得△AA?B?成为等腰三角形的x的值有：0秒、
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
3．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．
上海民办平和学校数学几何模型压轴题检测题(Word版 含答案)
