苏子愀然,正襟危坐,而问客曰:“何为其然也?”客曰:“‘月明星稀,乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎?西望夏口,东望武昌,山川相缪,郁乎苍苍,此非孟德之困于周郎者乎?方其破荆州,下江陵,顺流而东也,舳舻千里,旌旗蔽空,酾酒临江,横槊赋诗,固一世之雄也,而今安在哉?第五节 指数与指数函数
[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.3.知道指数函数是一类重要的函数模型.
1.有理指数幂 (1)分数指数幂
①正分数指数幂:a=a(a>0,m,n∈N,且n>1); ②负分数指数幂:a-=
mnnm*
mn1
man=1
(a>0,m,n∈N,且n>1);
*
nam③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质 ①a·a=arsrsr+s(a>0,r,s∈Q);
②(a)=a(a>0,r,s∈Q); ③(ab)=ab(a>0,b>0,r∈Q). 2.指数函数的图像与性质
rrrrs
苏子愀然,正襟危坐,而问客曰:“何为其然也?”客曰:“‘月明星稀,乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎?西望夏口,东望武昌,山川相缪,郁乎苍苍,此非孟德之困于周郎者乎?方其破荆州,下江陵,顺流而东也,舳舻千里,旌旗蔽空,酾酒临江,横槊赋诗,固一世之雄也,而今安在哉?
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 21
(1)(-1)=(-1)=-1.( )
42(2)函数y=2
mnx-1
是指数函数.( )
(3)若a<a(a>0,且a≠1),则m<n.( ) (4)函数y=ax+1(a>1)的值域是(0,+∞).( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2.化简[(-2)]-(-1)的结果为( ) A.-9 C.-10
B [原式=(2)-1=8-1=7.]
3.函数y=a-a(a>0,且a≠1)的图像可能是( )
x66
0
2
B.7 D.9
A B C D
C [法一:令y=a-a=0,得x=1,即函数图像必过定点(1,0),符合条件的只有选项C.
法二:当a>1时,y=a-a是由y=a向下平移a个单位,且过(1,0),A,B,D都不合适;
当0<a<1时,y=a-a是由y=a向下平移a个单位,因为0<a<1,故排除选项D.] 4.(教材改编)已知0.2<0.2,则m________n(填“>”或“<”).
【导学号:66482052】
> [设f (x)=0.2,f (x)为减函数, 由已知f (m)<f (n),∴m>n.]
5.指数函数y=(2-a)在定义域内是减函数,则a的取值范围是________.
【导学号:66482053】
(1,2) [由题意知0<2-a<1,解得1<a<2.]
xxmnxxxxx
苏子愀然,正襟危坐,而问客曰:“何为其然也?”客曰:“‘月明星稀,乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎?西望夏口,东望武昌,山川相缪,郁乎苍苍,此非孟德之困于周郎者乎?方其破荆州,下江陵,顺流而东也,舳舻千里,旌旗蔽空,酾酒临江,横槊赋诗,固一世之雄也,而今安在哉? 化简求值: 指数幂的运算 ?3?0-2?1?10.5
(1)?2?+2·?2?--(0.01); ?5??4?2
a·b-1-·a-·b(2)623
12
12
13. a·b5
1?4?1?1?11211116
[解] (1)原式=1+×??-??=1+×-=1+-=. 6分
4?9?2?100?2431061015
a-b·a-b(2)原式=
11
32
11231111151
=a---·b+-=. 12分
15326236aab66
[规律方法] 1.指数幂的运算,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:
(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加; (2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. [变式训练1] 化简求值:
1?1?-2?7?10
(1)(0.027)--??+?2?-(2-1);
3?7??9?2511-12-31-2
(2)a·b·(-3a-b)÷(4a·b). 63232
?27?-1-72+?25?1-1 [解] (1)原式=???9?2
?1 000?3??
105
=-49+-1=-45. 6分 3351-32-31(2)原式=-a-b÷(4a·b)
263251-313
=-a-b÷(ab-) 4632513=-a-·b- 422
515ab=-·=-2. 12分
44abab3