B?{(x,y)|2m?x?y?2m?1,x,y?R}, 若A?B??, 则实数m的取值范围是
______________
解析：（数形结合）当m?0时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，集合B是在
两条平行线之间，Q2?2m?12因为A?B??,此时无解；当m?0时，?m?(1?2)m??0 ，
22m和m为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 2集合A是以（2，0）为圆心，以
2?2m?1?2?1m1?2?m2??m?2?1.又因为?m,??m?2?1。 ?2?2m?m222??2点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质解决问题；对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转化为点到线的距离问题来解决。
例8．（1）（2012高考真题陕西理13）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，
水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
解析：26；设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为x??2py，带入点A得p?1，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(x0,?3)，则
2x0??2??3,x0??6，所以水面宽度为26.
2（2）【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分）
设A是单位圆x2?y2?1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x 轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|?m|DA|(m?0,且m?1). 当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影
为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的k?0，都有PQ?PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）如图1，设M(x,y)，A(x0,y0)，则由|DM|?m|DA|(m?0,且m?1)，
可得x?x0，|y|?m|y0|，所以x0?x，|y0|?1|y|. ① m因为A点在单位圆上运动，所以x02?y02?1. ②
y2将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x?2?1 (m?0,且m?1).
m因为m?(0,1)U(1,??)，所以
2当0?m?1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(?1?m2,0)，(1?m2,0)； 当m?1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0,?m2?1)，(0,m2?1).
（Ⅱ）解法1：如图2、3，?k?0，设P(x1,kx1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?kx1)，N(0,kx1)，
直线QN的方程为y?2kx?kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得 (m2?4k2)x2?4k2x1x?k2x12?m2?0.
依题意可知此方程的两根为?x1，x2，于是由韦达定理可得 4k2x1m2x1，即x2?2. ?x1?x2??2m?4k2m?4k22km2x1因为点H在直线QN上，所以y2?kx1?2kx2?2.
m?4k2uuuruuur4k2x12km2x1于是PQ?(?2x1,?2kx1)，PH?(x2?x1,y2?kx1)?(?2,).
m?4k2m2?4k2uuuruuur4(2?m2)k2x12而PQ?PH等价于PQ?PH??0，
m2?4k2即2?m2?0，又m?0，得m?2，
y2故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，都有PQ?PH.
2 y y y H A H N P PNM 2
O D x Q O x O Q x
图1
图2 (0?m?1) 第21题解答图
图3 (m?1)
解法2：如图2、3，?x1?(0,1)，设P(x1,y1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?y1)，N(0,y1)，
2222??mx1?y1?m,因为P，H两点在椭圆C上，所以?22 两式相减可得 22??mx2?y2?m,m2(x12?x22)?(y12?y22)?0. ③
依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合， 故(x1?x2)(x1?x2)?0. 于是由③式可得
(y1?y2)(y1?y2)??m2. ④
(x1?x2)(x1?x2)又Q，N，H三点共线，所以kQN?kQH，即于是由④式可得kPQ?kPH2y1y1?y2?. x1x1?x2y1y1?y21(y1?y2)(y1?y2)m2. ??????x1x1?x22(x1?x2)(x1?x2)2而PQ?PH等价于kPQ?kPHm2??1，即???1，又m?0，得m?2，
22y2故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，都有PQ?PH.
2题型6：导数问题
例9．（2012高考真题重庆理8）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数
,y?(1?x)f'(x)的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（ ）
（A）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) （B）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) （C）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) （D）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2)
解析:D；由图象可知当x??2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递增.当
?2?x?1时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递减.当1?x?2时，
y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递减.当x?2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此
时f'(x)?0，函数递增.所以函数f(x)有极大值f(?2)，极小值f(2),选D.
点评：通过函数图像分解导函数的正负，对应好原函数的单调递增、单调递减。 例10．（06浙江卷）已知函数f(x)=x3+ x3，数列｜xn｜(xn＞0)的第一项xn＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线与经过（0，0）和（xn,f (xn)）两点的直线平行（如图）
求证：当n?N*时，
22(Ⅰ)xn?xn?3xn?1?2xn?1;（Ⅱ）()n?1?xn?()n?2。
1212证明：（I）因为f(x)?3x?2x,所以曲线y?f(x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线斜率
2kn?1?3xn?2xn?1. ?1222因为过(0,0)和(xn,f(xn))两点的直线斜率是xn?xn,所以xn?xn?3xn?1?2xn?1.
'2（II）因为函数h(x)?x?x当x?0时单调递增，
2222而xn?xn?3xn?1?2xn?1?4xn?1?2xn?1?(2xn?1)?2xn?1，
2所以xn?2xn?1，即
xn?11xxx1?,因此xn?n?n?1?????2?()n?1. xn2xn?1xn?2x12yn?11?. yn2222又因为xn?xn?2(xn?1?xn?1),令yn?xn?xn,则
121112因此xn?xn?xn?()n?2,故()n?1?xn?()n?2.
2222因为y1?x1?x1?2,所以yn?()n?1?y1?()n?2.
12点评：切线方程的斜率与函数的导数对应，建立了几何图形与函数值的对应。 题型6：平面几何问题
例11．已知?ABC三顶点是A(4,1),B(7,5),C(?4,7)，求?A的平分线AD的长。
解析：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点A,B,C，画出?ABC的边及其?A的平分线AD。（如图）
第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定）观察、挖掘出来的特性。特性有：
uuuruuur（1）AB?AC；（2）?BAD??CAD?45?；
uuuruuur（3）CD?2DB，（4）?ABC?2?ACB?60?等等。
证明：∵A(4,1),B(7,5),C(?4,7)∴
uABuur?(3,4),uACuur?(?8,6),AB?5,AC?10 ∵uABuur?uACuur??3?8?4?6?0
∴（1）uABuur?uACuur，∵AD是?A的平分线；
∴（2）?BAD??CAD?45?，∵CDDB?ACAB?105?2(角平分线定理)
；
∴（3）uCDuur?2uDBuur，∵tan?ABC?tan?60??3?2，
∴（4）?ABC?2?ACB?60?不正确， 第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。过点D作DE?AB，交AB于点E，则有?BDE∽?BCA或DE?13AC?103等等。又在Rt?ADE中，
（可以口答出）AD?2DE?1023。 点评：数形结合的基础是作图要基本准确，切忌随手作图！数形结合的关键是挖掘图形的几何属性，切忌只重
数量关系忽视位置关系！如果把本题的图形随手作成如
下一般平面图形，则失去了数形结合的基础，很难挖掘出
图形的几何属性，是很失败的。
例12．已知A=｛(x,y)||x|≤1,|y|≤1｝,B=｛(x,y)|(x –a)2+(y –a)2≤1，a∈R｝,若A∩B≠?，则a的取值范围是 。
解析：如图，集合A所表示的点为正方形PQRS的内部及其边界，集合B所表示的点为以C(a,a)为圆心，以1为半径的圆的内部及其边界．而圆心C(a,a)在直线y=x上，故要使A∩B≠?，
则?1?2?a?1?2为所求。
22点评：应用几何图象解决问题时，尤其要注意特殊点（或位置）的情况，本题就是按照这样的思
路直接求出实数a的取值范围。
【方法技巧】
数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离”.可见，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌握，熟练应用.目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问
【二轮精品】2013届高三数学二轮复习精品教学案：【专题一】数形结合思想
