【专题一】数形结合思想
【考情分析】
在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2013年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
【知识归纳】
数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： 数形结合思想解决的问题常有以下几种：
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题；
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (7)构建方程模型，求根的个数；
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 常见适用数形结合的两个着力点是：
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析
几何方法.
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。
1．数形结合的途径
（1）通过坐标系形题数解
借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式(x?2)?(y?1)?4。
常见方法有： ①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。 ②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。
③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。
（2）通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2abcos?(??60?或??120?)与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。
常见的转换途径为：
①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。
22uuur②利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质。
（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将a与正方形的面积互化，将abc与体积互化，将a?c与勾股定理沟通等等。
（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离
222(x1?x2)2?(y1?y2)2，点到直线的距离d?等来寻求代数式的图形背景及有关性质。
|Ax0?By0?C|A?B22，直线的斜率，直线的截距）、定义
2．数形结合的原则 （1）等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
（2）双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。
（3）简单性原则
就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。
【考点例析】
题型1：数轴、韦恩图在集合中的应用
例1．（1）（2012高考真题浙江理1）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B ={x|x-2x-3≤0}, 则A∩（CRB）=（ ）
A．(1,4) B．(3,4) C．.(1,3) D．(1,2)∪（3,4）
2解析：B；B ={x|x-2x-3≤0}={x|?1?x?3}，A∩（CRB）={x|1＜x＜
24}?{x|x??1,或x?3}={x|3?x?4}。故选B.
点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。 （2）（2011湖南文1）设全集U?MUN?{1,2,3,4,5},MICUN?{2,4},则N?（ ） A．{1,2,3} B．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 解析：B；解析：画出韦恩图，可知N?{1,3,5}。
点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。 （3）（2012高考真题重庆理10）
设平面点集
?1?A??(x,y)(y?x)(y?)?0?,B?(x,y)(x?1)2?(y?1)2?1，则AIB所表示的平面图形的
x????面积为（ ）
（A）? （B）? （C）? （D）
343547? 2?y?x?0?y?x?01??解析：D；由(y?x)(y?)?0可知?或者，在同一坐标系中做出平面区11?xy??0y??0??xx??域如图，由图象可知A?B的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为
?，选D. 2题型2：函数图像的价值 例2．（1）（2012高考真题江西理10）如右图，已知正四棱锥S?ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SE?x(0?x?1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y?V(x)的图像大致为（ ）
解析：A；（定性法）当0?x?1时，随着x的增大，观察图形可知，V?x?单调递减，且递减2的速度越来越快；当
1?x?1时，随着x的增大，观察图形可知，V?x?单调递减，且递减的速度越2来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A.
【点评】对于函数图象的识别问题，若函数y?f?x?的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间.
（2）（2012高考真题山东理12）设函数f(x)?1,g(x)?ax2?bx(a,b?R,a?0)，若y?f(x)x的图象与y?g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是（ ） A.当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0
B. 当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0 D. 当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0
C. 当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0解析：B；在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当a?0时，要想满足条件，则有如图，
做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为(?x1,?y1)，由图象知?x1?x2,?y1?y2,即
x1?x2?0,y1?y2?0，同理当a?0时，则有x1?x2?0,y1?y2?0，故答案选B.
另法：F(x)?x3?bx2?1，则方程F(x)?0与f(x)?g(x)同解，故其有且仅有两个不同零点x1,x2.由
22F?(x)?0得x?0或x?b.这样，必须且只须F(0)?0或F(b)?0，因为F(0)?1，故必有
33232则x2?b?32.所以F(x)?(x?x1)(x?32)2，比较系数F(b)?0由此得b?32.不妨设x1?x2，
323得?x134?1，故x1??11x?x1312.x1?x2?32?0，由此知y1?y2???12?0，故答案为B.
x1x2x1x222点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值
不等式，中档题，借形言数。
（3）（2012高考真题湖南理8）已知两条直线l1 ：y=m 和l2： y=
8(m＞0)，l1与函数
2m?1y?log2x的图像从左至右相交于点A，B ，l2与函数y?log2x的图像从左至右相交于C,D .记线
【二轮精品】2013届高三数学二轮复习精品教学案：【专题一】数形结合思想
