江苏省南通市海安高级中学
2024 届高三数学 11 月检测试题
一、填空题：本大题共
14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位
．．．．．．
置上 ． ．．
1．已知集合 U 2． 已知复数 z
1，3 ，5 ，9 ， A 1 ，3 ，9 ， B
1 ，9 ，则 eU ( A U B)▲ ．
a 3i （ i 为虚数单位， a 0 ），若 z2 是纯虚数，则 a 的值为 ▲ ． 45
3． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班
名学生的高校招生体检表中视力情况进行统 计，其结果的频率分布直方图如右图．若某 高校 A 专业对视力的要求在 0.9
以上，则该
班学生中能报 A 专业的人数为 ▲ ． 4． 一根绳子长为 6 米，绳上有 5 个节点将该绳 6
等分，现从这 5 个节点中随机选择一个将绳子剪 断，则所得的两段绳长均不小于 为 ▲ ．
2 米的概率
5． 右图是一个算法的伪代码，则输出的 i 的值为 ▲ ．
ππ
6．将函数 f ( x) 的图象向右平移 个单位后得到函数 y 4sin 2x
6 3
的图象，则 f
π
4 的值为 ▲． π，则这个圆锥
7．若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为 “黄金圆锥”．已知一黄金圆锥的侧面积为
的高为
▲ ． 8． 在 △ ABC中，若 A
π 6
， B
π
， BC
1，则 BA CA 的值为▲
．
9． 关于 x 的不等式 ax2
3
bx c 0 的解集为
， ，则关于 x 的不等式 2a b 1 2
x
c bx
的 解集为
▲ ． x
10． 在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 C：y＝ e 上一点，直线 l ：x＋ 2y＋c＝ 0 经过点 P， 且与曲线 C在 P点处的切线垂直，则实数
c 的值为 ▲ ．
▲ ． 11．设 x＞ 0，y＞ 0，向量 a＝(1 － x，4) ，b＝ ( x，－ y ) ，若 a∥ b，则 x＋ y 的最小值为
*
12．设 Sn 为数列 { an} 的前 n 项和．若 Sn＝ nan－ 3n( n－ 1) （ n∈ N ），且 a2 ＝11，则 S20 的值
为 ▲ ．
13．设函数 f ( x)
， ≤ ，
x a 若存在实数 b ，使得函数 y 2 ，
x x a. x
3
f ( x) bx 恰有
2 个零点，则实
数
a 的取值范围是 ▲ ．
14．在△ ABC中，已知
为 ▲ ．
sin A＝ 13sin Bsin C， cos A＝ 13cos Bcos C，则 tan A＋ tan B＋ tan C的值
二、解答题：本大题共
90 分．请在答题卡指定区域 内作答 .
6 小题，共 解答时应写出文字
．．．．．．．
说明、证明过程或演算步骤．
15． ( 本小题满分 14 分)
如图，四棱锥 P ABCD中， O 为菱形 ABCD对角线的交点， M为棱 PD的中点， MA MC．
（ 1）求证： PB// 平面 AMC； （ 2）求证：平面 PBD 平面 AMC．
16． ( 本小题满分 14 分)
在△ ABC中，角 A，B， C所对的边分别为 a， b， c．已知 C
sin 2 （ 1）求
π
cos C 6
（ 2）若△ ABC的面积为
10 4 ．
的值；
3 15
4
2
2
，且 sin A sin B =
13
sin 2C，求 c 的值．
16
17． ( 本小题满分 14 分)
在平面直角坐标系
xOy中，已知椭圆 C：错误！未找到引用源。 的离心率为 错误！未找
到引用源。，椭圆焦距为 2．
（ 1）求椭圆的标准方程；
（ 2）若直线 l ：错误！未找到引用源。 与椭圆 C相交于 A，B 两点，且 错误！未找到引用源。．
求 ：△ AOB 的面 定 ；
18． ( 本小 分
16 分)
如 ，等腰直角三角形区域
ABC中，∠ ACB = 90 °， BC = AC = 1 百米． 准 划出一
三角形区域
CDE，其中 D， E 均在斜
AB上，且
DCE S．
（ 1）①
BCE ， 用 表示 S ； ②
AD x ， 用 x 表示 S ； （ 2）求 S 的最大 ．
19． ( 本小 分 16 分)
已知数列 { a1
n} 的各 都 正数， Sn＝
＋
1
a1＋ a2 a2＋ a3
（ 1）若数列 { a } 是首 1，公差
的等差数列，求
S ；
n
3
66
2
（ 2）若 n＝S
n ，求 ：数列 {
a1＋ an＋ 1
a
n} 是等差数列．
45 ． 三角形
CDE的面
1
( n∈ N*) ．
an＋ an＋ 1
＋?＋
20． ( 本小题满分 16 分)
设定义在 R 上的函数 f (x) ex （ 1）求函数 f （ 2）若存在 x0
x 的单调区间； 1，
ax （ a R ）．
，使得 f x0 e a 成立，求实数 a 的取值范围； r ≤ t
r ，那么称 s 比 t 更接近 r ．
（ 3）定义：如果实数 s，t ， r 满足 s
x 1
，问： 和 e对于（ 2）中的 a 及 x ≥1 a 哪个更接近 ln x ? 并说明理由．
x
e
数学 II （附加题）
21．【选做题】本题包括 A， B， C，D 四小题，请选定其中 两题 作答，每小题 10 分，共计 20 ．．．．． ．．．．
分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A． 选修 4— 1：几何证明选讲
自圆 O外一点 P引圆的一条切线 PA，切点为 A， M为 PA的中点，
过点 M引圆 O的割线交该圆于 B、 C两点，且∠ BMP=100°，
∠ BPC=40°，求∠ MPB的大小．
B． 选修 4— 2：矩阵与变换
已知矩阵 A
2 0 1
1
，求矩阵 A 的特征值和特征向量．
C． 选修 4— 4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆
C：
2 2 cos 和直线 l ：π 4
（
R）相交于 A， B 两点， 求线段 AB的长．
D． 选修 4— 5：不等式选讲
若正数 a， b 满足 a + b =1，求
1
4 的最小值．
2a 1 2b 1
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22． 若 x
1 n
展开式中前三项的系数成等差数列．
24 x
（ 1）求展开式中所有 x 的有理项； （ 2）求展开式中系数最大的项．
23． 在数列 an 中，已知 a1 20 ， a2 30 ， an 1 3an an 1 （ n N * ， n ≥ 2 ）．2
（ 1）求证： an 1 an 1 an （ n N * ， n≥ 2 ）为定值；
（ 2）求出所有的正整数 n，使 5an 1an 1 为完全平方数．
2024 届高三数学 卷
数学 I
一、填空 ：本大 共
14 小 ，每小 5 分，共 70 分． 把答案直接填写在答 卡相 位
．．．．．．
置上 ． ．． 5 3
1． 答案： 2． 答案： 3． 答案： 18
4． 答案：
3
5 5． 答案： 5 6． 答案： 4 7． 答案： 1 8． 答案： 3
9． 答案：
，0
10．答案：－ 4－ ln2 11．答案： 9 12．答案： 1240
13．答案： ，0
0，1
14．答案： 196
二、解答 ：本大 共
6 小 ，共
90 分． 在答 卡指定区域
．．．．．．．
明、 明 程或演算步 ．
15． ( 本小 分
14 分)
明：（ 1） OM ，
因 O 菱形 ABCD 角 的交点，
所以 O
BD的中点， 又 M 棱 PD的中点，
所以 OM // PB ，
又 OM
平面 AMC， PB
平面 AMC， 所以 PB 平面 AMC；
//
（ 2）在菱形
中， ，且
的中点，
ABCD AC BD O AC
内作答 .
解答 写出文字
?? 2 分
?? 6 分
又 MA MC，故 AC OM，
?? 8 分
而 OM BD O ， OM，BD 平面 PBD，
所以
平面 ， ?? 11 分
AC AC
又
平面
PBD
，
AMC
所以平面 PBD 平面 AMC．
14 分)
16． ( 本小 分
解：（ 1）因 sin
C
10
4
，所以 cos C
1 2sin
2
C
2 1 4 1 2
1 2
2 2
10 4
在△
中， ABC sin C
1
2 cos C
1
15 4 ，
1 ， 4
?? 14 分
?? 2 分
?? 4 分
所以
cos C
6
cosC cos 6
sin C sin
3
15 4
1
3
15
8
；?? 6 分
（ 2）因 sin 2A+sin 2B =
13
6
4
2
2 sin 2C，
16
由正弦定理
a
sin A 2
c 得：所以 a2
sin B sin C
b
2
2
b2 13 c2 ；
16
?? 8 分
由余弦定理得 c 即 a
2
b
2
c2 1a
ab
由 S ABC
12
ab sin C
1
c2 ，所以 ab 3 c2 ，
16 8
ab
13
b
2abcos C，
?? 10 分
2 2
15 4
3 15
4
，所以 ab
6 ，
a2
?? ??
12 分 14 分
所以 c 4 ．
17． ( 本小 分
14 分)
2c
2
，
解：（ 1）由 意：
c
1 ，所以
e a 2
，
c 1 ， b2 a 2
c
2 3 ，
C的方程
x
2
y 2 3
1 ．
??
4 分
4
（2）①由 ！未找到引用源。 消去 y，化 得： 3+4k2 6 分
x2
8kmx 4m2 12 0 ，
??
A x1，y1 ， B x2， y2
x x
，
1
2
2 8km ， x1 x2 4m2 12 ，
3 4k2 3 4k2
2
3m2 12k2 ，
故 y1 y2 kx1 m kx2 m k
x1 x2 km x1
x2
m
3 4k 2
?? 8 分
因 kOA kOB
y1 y2 x1 x2
3
，所以 2m2
3 4k2 ，
?? 10 分
4
所以 AB
1 k
2
x1
x2
2
4x1 x2
24 1 k2
2
， d
m
，
3 4k
1 k 2
2
所以 S
1
2
AB d
1 2
24 1 k
2
m
2
2
3 4k
1 k
1
2
24m 2 3 4k
3 定 .
?? 14 分
18． ( 本小 分 解：（ 1）①以
16 分)
正方向，
正方向建立平面直角坐 系，
CB x
：
CA y
， ：
CE y tan AB： y
x 1 ，
x CD y tan
4
x ， 0 ≤
，
4
，
立解得： E
1
1 tan 1 d DE
2
， tan 1 tan
， D 1 tan
2
1 tan
，
?? 3 分
2
所以 t
1 tan2
4 1 tan 1 足 t 4
，
当
， S 4
CDE
1 tan2 4 1 tan
，
2
所以 t
1 tan 4 1 tan
， 0
≤ ≤
；
?? 6 分
4
（注：出 tan
4
但
4
未 独列出扣 1 分）
②如 ， 以 AB 斜 另作等腰直角三角形
AOB，延 CD交 AO于 F，延 CE交 BO于 G，
O
A F
D
E
G
C
B
ACF
所以 tan
， m
BCG AF AC
AF BC
， AF AD DC
m，BG n ，
x ，同理 tan 2 x
xDE
n
由 tan
1 ，代入化 m
1 mn
n
2
2 x 2 x
1， ≤
2 x DE ， x DE
≤
0 x
2 ， 2
所以
1 2
2x2
2x
2
， 0 ≤ x ≤
2 2
S x = 2 2
；
DE
4 2 x
?? 12 分
（2）令 t2
x ，
2
≤ t ≤
2 ，所以 S x =
2
2 t 1 4 t
2 ≥
2 1 ， 2
当且 当 t =1，即 x 2 1 取到等号．
2
?? 15 ?? 16 分
分
答：三角形 CDE面 的最大
1
百米 2 .
2
19． ( 本小 分
16 分)
3
3 1
解：（ 1）因 数列 { an} 是首
1，公差 d＝ 2的等差数列，所以
an＝ 2n－ 2．n
1
a ＋ 1
a
a ＋
所以 S
＝＋?＋
a ＋ a
＋
a 1
1
2
2
3
n
n＋ 1
a 2 － a a － a
a
1
3
2
n
＝n＋ 1
－ a
a2－ a1 ＋ a3－ a2 ＋?＋
an＋ 1－an
＝ d( a － a ) ．
1 n＋ 1 1
1
2
所以 S66＝d( a67－ a1) ＝ 3(10 －1) ＝ 6．
（ 2）由 1 ＋ 1 ＋?＋ 1 ＝ n ，
a1＋ a2 a2＋ a3 an＋ an＋ 1 a1＋ an＋ 1
得 1 1 1
＋ n－ 1
＋?＋ a ＋ a a ＋ a a ＋ a ＝ a ＋ a
， n≥ 2．
1 2 2 3 n－1 n 1
n
1
－ 1
两式相减，得 a a ＝ a n a
－ a n a ，
n ＋ n＋ 1
1＋ n＋ 1 1＋ n 即 1 － 1
＝
a ＋n a －
a ＋n a
，
a
＋ a
a ＋ a
n n ＋1 1
n
1
n＋ 1 1 n 化 ，得 a － a
＝ n( a － a ) ，n≥ 2．
1
n＋1 n
n＋1
即( n－ 1) an＋ 1－ nan＋ a1＝ 0，①
所以 ( n－ 2) a － ( n－ 1) a ＋ a ＝0，②， n≥ 3．
n
n－ 1 1
两式相减，得 ( n－ 1) an＋ 1－2( n－ 1) an＋( n－ 1) an－1＝ 0， 因 n≥ 3，所以 a － 2a ＋a
＝ 0，即 a
＋ a ＝ 2a ，
n+1n n －1
n＋1
n－1
n
所以数列 { an} 从第二 起是等差数列．
又在
1
＋ 1
＋?＋ 1
＝ n
中，
a
1＋ a2
a
2＋ a3
a
＋ a ＋
1
a1＋ a ＋1
n n
n
令 n＝ 2，得
1 1
2
1＋
＋
2＋
＝
1
化 ，得 a ＋a ＝ 2a ，
a
a
2
a
a
3
a
＋ ，
a
3
1 3
2
所以数列 { an} 是等差数列．
20． ( 本小 分 16
分)
?? 2
分
?? 4 分
?? 6 分
?? 8
分
?? 10 分
?? 14
分
?? 16
分
解：（ 1）由 知，
f ’ x
ex a ，
①当 a ≤ 0 ， f ’x ②当 a 0 ，令 f ’x
减，当 x
0 恒成立， f 0 ，得 x f ’x
x 在 R 上 增；
ln a ，当 x
，ln a f ’x 增；
0 ， f x
ln a，
0 ， f x
上：当 a ≤ 0 ， f
x 在 R 上 增； 当 a
0 ， f x 在 ，ln a 减，
在 ln a， 增； ?? 4 分
（2）由（ 1）知当 a ≤ e ， f 所以 f
x
x 在 1，
增，
≥ f 1 e a 恒成立，舍；
?? 6 f 1
分 e a
当 a e ， f 足， 上： 数 （ 3）令 p x
x 在 1，ln a 减，在 ln a，
增，所以 f
ln a a 的取 范 a
e ；
?? 8 分
e
ln x ， q x x e 1 x2 e x 1
a ln x ， x≥ 1，
p’x
x
0 p x 1，
在 ，
减，
故当 1≤ x ≤ e ， p x ≥ p e
q’x
0 ；当 x
x 1
e ， p x
0 ；
?? 10 分
e
x 1 1 x
， q x
''
e
1 x2
0 ， q’x
在 1，
增，
故 q’x ≥ q’1 =0 ， q x
e ，所以 q x
在 1， ≥ q 1
增， a 1 q x
0 ；
由（ 2）知 a
?? 12 分
①当 1≤ x ≤ e ，令 m x
p x
p x q x
e e x
x 1
a ，
所以 m’x
e x 1
0 ，故 m x 在
2 e x
1， e 减，
所以 m x ≤ m 1 e 1 a
x 1 e e所以比0 ，即 p x
q x ，
a 更接近 ln x ；
x
?? 14 分
x
②当 x
e ，令 n
p x
q x
p x
q x
e x 1
2ln x e a ， x
e x2
2
x 1
3
e 1
所以 m’x
x e
e e
0 ，故 n x 在 e，
减，
所以 n x ≤ n e 所以 比 ex
x
上：当 a
0 ，即 p x a 更接近 ln x ；
e
q x ，
x 1
e
1
e 及 x≥ 1 ， 比 e
a 更接近 ln x ．
?? 16 分
x
数学 II （附加 ）
2a 1
21．【 做 】本 包括
A， B， C，D 四小 ， 定其中 两 作答，每小
．．．．． ．．．．
分，解答 写出文字 明， 明 程或演算步 ．
2 21A 解：因 MAO的切 ，所以
MA
MB MC ．
2
又 M PA的中点，所以 MP MB MC ．
因
BMP
PMC ，所以 BMP ∽ PMC ．
于是 MPB
MCP ．
在△ MCP中，由
MPB
MCP
BPC
BMP 180 ，得∠ MPB=20°．21B 解：因 f
2 0
2 1 ，令 f
0 ，
1
1
1 或
2 ．
于
1 ，
x 0 ，所以属于
1 的一个特征向量
0 ；
1
于
2 ，
x y
0 ，所以属于 1
2 的一个特征向量
．
1
21C解：以极点 坐 原点，极
x 正半 建立平面直角坐 系，
因 C：
2 2 cos ，所以 2
2 2 cos
，
即： x
2
y 2
2 2 x 0 ；
因 直 l ：
π
4 （
R），所以 y x ． 2 0
心到直 的距离
d
1 ，
2
所以 AB
2 r 2 d 2 2 2 1 2 ．
21D． 修 4—5：不等式
若正数 a， b 足 a
+ b =1，求
1
4
的最小 ．
2b 1
10 分，共 20
??????5 分
?? 10 分
???4 分 ???7 分
??? 10 分
???2 分
???4 分
???6 分
??? 10分
解：令 2a
1 m ， 2b 1 n ， m n 4 m 0 ， n 0 ， ??? 2 分
所以
1 4 m n 2a 1 2b 1 4m m n
n 5 n m ≥ 5 4 4m n
4
2
n m 9 4 m n 4
，???8 分 ??? 10 分
当且 当 a
1
， b
6
5 取得等号，所以的最小 6
9 ． 4
【必做 】第 22 、第 23 ，每 10 分，共 20 分． 解答 写出文字 明， 明 程或演算步 ．
22． 解：展开式前三 系数分
Cn ， Cn ， Cn 2 ．
0
4 0111
由 三 成等差数列得
Cn 1 Cn
12
4
2Cn ，即 n2
9n 8 0 ，
4 3 r
4
4
r
所以 n 8或者 n 1（舍去）． （ 1）因
???2 分
T C
r
8 r
x
r
C
2 x 2 r
1
x
r 1
8 8
，
所以 4
3r 4
0 ≤ r ≤ 8 ， r Z，且
Z，故 r 0 ， r 4 ， r 8 ．
所以展开式中 x 的有理 T1
x4 ， T5
35 x ， T9
8
1 x 2 ．
256
???6 分
（ 2）假 第 r +1 的展开式系数最大，
C8 r 1 ≥ C8r 1 1 ，
2r 2r 1 ，解得 2 ≤ r ≤ 3 ． C8 r 1 ≥ C8r +1 1
7
2r
2 r +1
5
所以展开式中系数最大的
23． 明：（1） n 1
n 1
n 2
T3 7x2 和 T4 7 x4 ．
*
??? 10分 ???1 分
a a
a
500 （ n
N ， n≥ 2 ）．
当 n = 2 ，因 a1 20 ， a2 30 ， an 1 3an an 1 ，所以 a3
70 ，
故 a1 a3 a2 假 当 n
2 500 ， 成立；
ak 1ak 1
2
???2 分
2
k k ≥ 2 成立，即
ak 2
500 ，
2
2
所以当 n
k 1 ， ak ak 2
1
a
k 1
ak 3ak 1 ak ak
1
ak 3ak 1ak ak
1
a
k 1
500 ak 1ak
3ak 1 ak ak 12
500 ak 1 ak 1 3ak
500 ，???4 分
n k 1 成立；
an 1 an 1 an
上：
2 （ n
N * ， n≥ 2 ） 定 500．
???5 分
（ 2）因 an 1an 1 an 2 500 ，且 an 1 3an an 1 ，
2 1
所以 3anan 1 500 an 2 an 12 ，故 5an an 1 1 501 an an 因 5an 1an 1 完全平方数，
2
． ???7 分
t2 t N* ，
an
an 1
t
所以 501 an an 1
t2 ，即 t
an an 1 501 ，
因 501
1 501 3 167 ，所以
t
an an 1
1， t
an
或
t
an an 1
501
t an 所以
an an 1 250，
（另一解舍），因 a3
70，a4 180 ，
t 251
故符合条件的正整数
3．
an 1 3 ，，
an 1 167
??? 10 分
江苏省南通市海安高级中学2024届高中高三数学检测试卷试题.doc
