集合及集合的应用
【课标解读】
1. 掌握集合的有关基本定义概念，运用集合的概念解决问题； 2. 掌握集合的包含关系（子集、真子集）； 3. 掌握集合的运算(交、并、补)；
4. 在解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形结合、补集思想、分类讨论）的运用.
【知识梳理】
一、集合的有关概念
(一) 集合的含义
(二) 集合中元素的三个特性
1.元素的确定性：如：世界上最高的山，反例：世界上很高的山； 2.元素的互异性：如：由“HAPPY”的字母组成的集合{H,A,P,Y}； 3.元素的无序性： 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合. (三) 集合的表示
集合的表示方法：列举法与描述法.
常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N， 正整数集： N*或 N+ ，整数集：Z，有理数集Q， 实数集R. 1．列举法：{a,b,c,…}
2． 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.如：
{x?R| x-3>2},{x|x-3>2}.
3．语言描述法：如：{不是直角三角形的三角形}. 4.Venn图. (四) 集合的分类
1.有限集: 含有有限个元素的集合; 2.无限集: 含有无限个元素的集合;
3.空集: 不含任何元素的集合;如：{x|x2=-5｝.
二、集合间的基本关系
1. “包含”关系——子集
注意：A?B有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合.
?B或B??A. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?2.
“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5).实例：设A={x|x2-1=0}， B={-1,1}. 则A=B. 元素相同则两集合相等,即：① 任何一个集合是它本身的子集：A?A； ②真子集:如果A?B,且A? B,那就说集合A是集合B的真子集，记作A ?B(或B ?A). ③如果 A?B, B?C ,那么A?C. ④ 如果A?B , 同时 B?A ,那么A=B.
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为?
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 含有n个元素的集合，有2n个子集，2n?1个真子集.
三、集合的运算
运算类型 交 集 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A?B（读作“A定义 交B”），即A?B=｛x|x?A，且x?B｝． 并 集 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A?B（读作“A并B”），即A?B ={x|x?A，或x?B}． S A?A=A A??=? 性质 A?B=B?A A?B?A A?B?B A?A=A A??=A A?B=B?A A?B?Ａ A?B?B (?UA)?( ?UB)= ?U(A?B) (?UA) ?( ?UB)= ?U(A?B) A? (?UA)=U A?(?UA)= ? 补 集 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作?SA，即 ?SA={x|x?S,且x?A}. 韦恩图示 A 【方法归纳】
一、对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.
二、关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.
三、含参数的集合问题，多根据集合的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想. 四、处理集合问题要多从已知出发，多从特殊点出发来寻找突破口.
课堂精讲练习题
考点一：集合的概念与表示
1. 集合A中的元素由x=a+b2(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系. （1）0； （2）11 ； （3）. 2?13?2 【解题思路】：（1）因为0?0?0?2，所以0?A； （2）因为
12?1?1?1?2，所以
12?1?A；
（3）因为 难度分级:B类
11?3?1?2,3?Z,所以?A.3?23?2
2. 已知集合A={y|y=x-1，x∈R}，B={(x,y)|y=x2-1，x∈R}，C={x|y=x+1，y≥3}，求(AUC)IB. 【解题思路】：
∵A={y|y=x-1，x∈R}=R是数集，B={(x,y)|y=x2-1，x∈R}是点集， C={x|y=x+1，y≥3}={x|x≥2}， ∴(AUC)IB=?.
难度分级:A类
3. 已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}， B={x|x2+(a-1)x+a2=0}，C={x|x2+2ax-2a=0}， 其中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围. 【解题思路】：
当三个集合全是空集时，所对应的三个方程都没有实数解. 方程都没有实数解，
??1?16a2?4(?4a?3)?0?22 即 ??2?(a?1)?4a?0
?2??3?4a?8a?0 解此不等式组，得 ?3?a??1 23,或a≥-1. 2 ∴所求实数a的取值范围为a≤?
难度分级:B类
考点二：集合中元素的特征
4. 集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是___________. 【解题思路】：x≠－1且x≠0且x≠3. 难度分级：A类
5. 设集合P??x?y,x?y,xy?，Q?x2?y2,x2?y2,0，若P?Q，求x,y的值及集合P、Q． 【解题思路】：∵P?Q且0?Q，∴0?P．
（1）若x?y?0或x?y?0，则x?y?0，从而Q?x2?y2,0,0，与集合中元素的互异性矛盾，∴
22????x?y?0且x?y?0；
（2）若xy?0，则x?0或y?0．
当y?0时，P??x,x,0?，与集合中元素的互异性矛盾，∴y?0； 当x?0时，P?{?y,y,0}，Q?{y,?y,0}，
22?y??y2?y?y2??2??2由P?Q得?y??y ① 或?y?y ②
y?0????y?0由①得y??1，由②得y?1，
?0x?0∴xy??1或y?1，此时P?Q?{1,?1,0}．
难度分级:B类
6. 设S是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1∈S，②若a?S，则请解答下列问题：
??1?S， 1?a
高一数学知识点与题型完整归纳总结
