2024-2024学年高一第一学期期末数学试卷
一、选择题
1．设集合U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，2}，B＝{1，2，3}，则?U（A∪B）＝（ ） A．{0} 2．tanA．
B．{2}
的值是（ ）
B．
C．
D．
C．{﹣1，2}
D．{﹣1，1，2，3}
3．若lgsinx＝0，则x＝（ ） A．2kπ（k∈Z） C．
B．D．
4．下列函数在（0，2）上递增的是（ ） A．y＝sin（x﹣2） B．y＝ex﹣2 5．比较下列三个数的大小：A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
x﹣3
C．y＝（x﹣2）2 D．
，b＝log23，c＝log32（ ）
C．c＜a＜b
D．a＜c＜b
6．函数f（x）＝loga（x﹣2）+aA．（2，1） 7．对于函数
+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P点坐标为（ ）
C．（0，1）
D．（3，3）
B．（3，2） 的性质，下列描述：
①函数f（x）在定义域内是减函数； ②函数f（x）是非奇非偶函数；
③函数f（x）的图象关于点（1，1）对称． 其中正确的有几项（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
的x1，x2，…，
8．设函数f（x）＝|tanx|，对任意满足条件﹣
xn，不等式|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤M恒成立，
则M的最小值是（ ） A．
B．
C．1
D．2
，x∈[1，n]，若f（x）与g（x）
9．已知函数f（x）＝x2﹣4x+8，x∈[1，m]，
值域都是[4，5]，则点（m，n）所表示的区域是（ ）
A． B．
C． D．
10．对任意x∈R，不等式﹣b）分别等于（ ） A．
；
B．
；
C．
恒成立，则sin（a+b）和sin（a； D．；．
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 11．函数
的定义域是 ，函数
的值域是 ．
12．＝ ，＝ ．
13．已知函数，则f[f（﹣10）]＝ ，若f（a）≤1，则实数
a的取值范围是 ．
14．已知tanα＝2，则15．若16．函数
的取值范围为 ．
17．已知函数f（x）＝2x3+ax2+ax，对任意两个不等实数x1，x2∈[1，+∞），都有
，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：5小题，共74分 18．已知sinα＝﹣，且cosα＞0．
＝ ，
，则x＝ ．
图象的一个对称中心在区间
内，则φ
＝ ．
（1）确定角α的象限并求cosα，tanα，的值；
（2）求的值．
19．已知集合A＝{x|（x﹣2a）?（x﹣a﹣3）＜0}，B＝{1，2，3}． （1）若a＝1，求A∩B；
（2）若a≠3，写出A对应的区间，并在A∩B＝{1，2}时，求a的取值范围． 20．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示． （1）求f（x）的解析式； （2）f（x）向右平移（3）若
个单位后得到函数g（x），求g（x）的单调递减区间； ，且
，求x的取值范围．
21．已知函数在其定义域内是奇函数．
（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性（写简要理由，不要求用定义证明）； （2）解关于x不等式22．已知f（x）＝x2﹣2ax+2．
（1）若f[f（x）]和f（x）有相同的值域，求a的取值范围；
（2）若f（a）＜0，且a＞0，设|f（x）|在[1，4]上的最大值为g（a），求g（a）的取值范围．
．
参考答案
一、选择题
1．设集合U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，2}，B＝{1，2，3}，则?U（A∪B）＝（ ） A．{0}
B．{2}
C．{﹣1，2}
D．{﹣1，1，2，3}
【分析】先求出A∪B，由此能求出?U（A∪B）．
解：∵集合U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，2}，B＝{1，2，3}， ∴A∪B＝{﹣1，1，2，3}， ?U（A∪B）＝{0}． 故选：A． 2．tanA．
的值是（ ）
B．
C．
D．
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 解：∵tan故选：A．
3．若lgsinx＝0，则x＝（ ） A．2kπ（k∈Z） C．
B．D．
＝tan
＝
，
【分析】根据题意，由对数的性质可得sinx＝1，进而由正弦函数的性质分析可得答案． 解：根据题意，若lgsinx＝0，则sinx＝1，必有x＝2kπ+故选：B．
4．下列函数在（0，2）上递增的是（ ） A．y＝sin（x﹣2） B．y＝ex﹣2
C．y＝（x﹣2）2
D．
，（k∈Z）；
【分析】函数y＝ex﹣2与函数y＝ex的单调性一致，由指数函数的单调性性质即可得解． 解：函数y＝ex﹣2相当于函数y＝ex向右移动两个单位而得到，其单调性与函数y＝ex一致，
由指数函数的单调性可知，函数y＝e单调递增，即函数y＝e故选：B．
5．比较下列三个数的大小：A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
xx﹣2
单调递增．
，b＝log23，c＝log32（ ）
C．c＜a＜b
D．a＜c＜b
【分析】利用对数函数的单调性即可得出． 解：∵∴a＜c＜b． 故选：D．
6．函数f（x）＝loga（x﹣2）+ax﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P点坐标为（ ） A．（2，1）
B．（3，2）
C．（0，1）
D．（3，3）
＜c＝log32＜1＜b＝log23，
【分析】根据指数函数和对数函数恒过定点的坐标，即可求出f（x）所过的定点． 解：函数f（x）＝loga（x﹣2）+ax﹣3
+1（a＞0且a≠1）中，
令x﹣2＝1，解得x＝3，此时y＝f（3）＝0+1+1＝2， 所以f（x）的图象恒过定点P（3，2）． 故选：B． 7．对于函数
的性质，下列描述：
①函数f（x）在定义域内是减函数； ②函数f（x）是非奇非偶函数；
③函数f（x）的图象关于点（1，1）对称． 其中正确的有几项（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】①结合反比例函数的单调性及函数图象的平移可判断， ②先判断函数的定义域关于原点不对称，故可判断， ③根本反比例函数的性质及函数图象的平移可判断． 解：∵
＝1+
的定义域{x}x≠1}，
在（﹣∞，1），（1，+∞）单调递减，但是在定义域内不是递减，故①错误， 由于f（x）的定义域关于原点不对称，即f（x）为非奇非偶函数，②正确， 根据函数图象的平移可知，f（x）＝1+
的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，
向上平移1个单位，故函数的图象的对称中心（1，1），③正确． 故选：C．
8．设函数f（x）＝|tanx|，对任意满足条件﹣
的x1，x2，…，
xn，不等式|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤M恒成立，
则M的最小值是（ ） A．
B．
C．1
D．2
【分析】利用绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|的推广可得|f（x1）﹣f（xn）|≤M，再根据
x的取值范围
解：因为|f（x1）﹣f（xn）|＝|f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x3）+…+f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤M， 即M≥|f（x1）﹣f（xn）|，又因为﹣
，所以|f（x1）﹣
f（xn）|≤|f（﹣
故M最小值为2， 故选：D．
）﹣f（）|＝2，
9．已知函数f（x）＝x2﹣4x+8，x∈[1，m]，，x∈[1，n]，若f（x）与g（x）
值域都是[4，5]，则点（m，n）所表示的区域是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用二次函数及双勾函数的性质求得m，n的范围，进而求得答案． 解：显然m＞1，n＞1，
函数f（x）＝x2﹣4x+8的对称轴为x＝2，在[1，2]递减，在（2，m]递增，故f（x）min＝f（2）＝4，f（1）＝f（3）＝5，故2≤m≤3； 函数
在[1，2]递减，在（2，n]递增，故g（x）min＝g（2）＝4，g（1）＝g（4）＝5，故2≤n≤4；
故点（m，n）的横坐标介于[2，3]之间，纵坐标介于[2，4]之间， 故选：C．
10．对任意x∈R，不等式﹣b）分别等于（ ） A．
；
B．
；
C．
；
D．
；
．
恒成立，则sin（a+b）和sin（a【分析】根据不等式恒成立得到cos（ax+b）＝﹣sin（πx+的诱导公式进行转化建立方程进行求解即可． 解：要使
则必有cos（ax+b）＝﹣sin（πx+则a＝π，b＝
+2kπ，
+2kπ）＝﹣sin﹣2kπ）＝sin
＝＝﹣，
，
恒成立， ）＝cos（
+πx+
），然后利用三角函数
）＝cos（πx+），
则sin（a+b）＝sin（π+sin（a﹣b）＝sin（π﹣故选：B．
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 11．函数
的定义域是 [0，+∞） ，函数
的值域是 （0，+∞） ．
【分析】由函数定义域及值域的定义直接可以得到答案． 解：函数（0，+∞）；
故答案为：[0，+∞），（0，+∞）． 12．
＝ π﹣1 ，
＝ ﹣4 ．
的定义域是[0，+∞）；函数
的定义域是（0，+∞），故其值域是
【分析】利用指数的运算性质即可得出． 解：
＝π﹣1，
＝﹣32+1＝4﹣9+1＝﹣4．
故答案为：π﹣1，﹣4． 13．已知函数
的取值范围是 [﹣1，10] ．
【分析】推导出f（﹣10）＝（﹣10）2＝100，从而f[f（﹣10）]＝f（100），由此能求出结果；由f（a）≤1，当a≤0时，f（a）＝a≤1，当a＞0时，f（a）＝lga≤1，由此能求出实数a的取值范围． 解：∵函数
∴f（﹣10）＝（﹣10）2＝100，
，
2
，则f[f（﹣10）]＝ 2 ，若f（a）≤1，则实数af[f（﹣10）]＝f（100）＝lg100＝2，
∵f（a）≤1，
∴当a≤0时，f（a）＝a≤1，解得﹣1≤a≤0； 当a＞0时，f（a）＝lga≤1，解得0＜a≤10， 综上，实数a的取值范围是[﹣1，10]． 故答案为：2，[﹣1，10]． 14．已知tanα＝2，则
＝
，
＝ 1 ．
2
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解． 解：∵tanα＝2， ∴∴
故答案为：，1． 15．若【分析】由解：∵∴x＝
＞0，
，
，则x＝ 4 ．
，化为x＝
＞0，即可得出．
＝
＝
＝
＝，
＝
＝1．
解得x＝4．
故答案为：4． 16．函数
的取值范围为 （
，
） ．
内
图象的一个对称中心在区间
内，则φ
【分析】根据正弦函数的对称中心求出x的值，再根据对称中心在区间求出φ的取值范围． 解：函数
令2x+φ＝kπ，k∈Z； 解得x＝kπ﹣φ，k∈Z； 又函数y图象的一个对称中心在区间所以
＜kπ﹣φ＜
＜φ＜kπ﹣＜φ＜
， ，
）． ，k∈Z； ，k∈Z；
内，
中，
解得kπ﹣令k＝1，得
所以φ的取值范围是（故答案为：（
，
）．
17．已知函数f（x）＝2x3+ax2+ax，对任意两个不等实数x1，x2∈[1，+∞），都有
，则实数a的取值范围是 [﹣4，+∞） ．
【分析】通过变形可得，构造函数，可知函
数g（x）在[1，+∞）上单调递增，进而得解．
解：不妨设1≤x1＜x2，则x2f（x1）﹣x1f（x2）＜0，即x2f（x1）＜x1f（x2），即
，
构造函数∴
，即a≥﹣4．
，依题意，函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，
故答案为：[﹣4，+∞）．
三、解答题：5小题，共74分 18．已知sinα＝﹣，且cosα＞0． （1）确定角α的象限并求cosα，tanα，
的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果． （2）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．
解：（1）∵已知sinα＝﹣，且cosα＞0，∴α为第四象限角，cosα＝＝， ∴tanα＝
＝﹣，
∴＝﹣＝
＝＝2tanα＝﹣．
（2）＝＝﹣cotα＝﹣＝．
19．已知集合A＝{x|（x﹣2a）?（x﹣a﹣3）＜0}，B＝{1，2，3}． （1）若a＝1，求A∩B；
（2）若a≠3，写出A对应的区间，并在A∩B＝{1，2}时，求a的取值范围． 【分析】（1）a＝1时，可得出集合A，然后进行交集的运算即可；
（2）根据a≠3，可讨论a：a＞3时，得出A＝{x|a+3＜x＜2a}；a＜3时，得出A＝{x|2a＜x＜a+3}．然后根据A∩B＝{1，2}，即可得出a＞3时，
；a＜3时，得出
，解出a的范围即可．
解：（1）a＝1时，A＝{x|2＜x＜4}， ∴A∩B＝{3}；
（2）∵a≠3，
∴2a＞a+3，即a＞3时，A＝{x|a+3＜x＜2a}；2a＜a+3，即a＜3时，A＝{x|2a＜x＜a+3}， ∵A∩B＝{1，2}， ∴①a＞3时，
，解得
，显然不满足题意；
②a＜3时，，解得﹣1＜a≤0，
∴a的取值范围为（﹣1，0]．
20．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示． （1）求f（x）的解析式； （2）f（x）向右平移（3）若
个单位后得到函数g（x），求g（x）的单调递减区间； ，且
，求x的取值范围．
【分析】（1）函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式． （2）由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的单调性，得出结论． （3）由题意可得sin（2|x|+
）≥
，结合x的范围、正弦函数的图象特征，求出
x的具体范围．
解：（1）根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象可得A＝求得ω＝2．
再根据五点法作图，可得 2?
+φ＝π，∴φ＝
，故函数f（x）＝
sin（2x+
）．
，?
＝
﹣
，
（2）把f（x）向右平移令2kπ+
≤2x≤2kπ+
个单位后得到函数g（x））＝，求得kπ+
≤x≤kπ+
sin2x的图象， ，
可得 g（x）的单调递减区间为[kπ+（3）若∵∴2|x|+
∈[
，∴，
，kπ+]，k∈Z． ∈[
，
]． ）≥
，
，则|x|∈[0，π]，2|x|+sin（2|x|+]，或 2|x|+
）≥＝
，求得 sin（2|x|+，
∴2|x|∈[0，求得x∈[﹣21．已知函数
]，或2|x|＝2π， ，
]，或 x＝π．
在其定义域内是奇函数．
（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性（写简要理由，不要求用定义证明）； （2）解关于x不等式
．
【分析】（1）由奇函数的性质可求得a，b，由复合函数的单调性法则可得单调性； （2）通过换元法，直接求解即可． 解：（1）依题意，
，则
，显然a＝1，
b＝1，
经验证，当a＝b＝1时，函数由
在其定义域内是奇函数，满足题设； ，定义域为（﹣1，1），
由复合函数的单调性可知，函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减； （2）令
＜2，解得x＜1， ∴
原
不
等
式
等
价
为
，且
，则
，即﹣1＜4x﹣2x，
∴，解得t＞0或（舍），
而显然成立，故所求不等式的解集为（﹣∞，1）．
22．已知f（x）＝x2﹣2ax+2．
（1）若f[f（x）]和f（x）有相同的值域，求a的取值范围；
（2）若f（a）＜0，且a＞0，设|f（x）|在[1，4]上的最大值为g（a），求g（a）的取值范围．
【分析】（1）依题意，2﹣a≤a，解不等式即可； （2）易知
，再分类讨论得出g（a）的表达式，进而求得g（a）的取值范围．
2
解：（1）∵f（x）＝（x﹣a）2+2﹣a2≥2﹣a2，
当f（x）的最小值在对称轴的左侧（或对称轴位置）时，f[f（x）]的值域也是[2﹣a2，+∞），
∴2﹣a2≤a，解得a≤﹣2或a≥1，
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）； （2）∵f（a）＜0，a2＞2， ∴
，
∴△＝4a2﹣8＞0， 分情况讨论：
①当a≥4时，g（a）＝max{|f（1）|，|f（4）|}＝max{2a﹣3，8a﹣18}＝8a﹣18； ②当
时，g（a）＝max{|f（1）|，|f（a）|，|f（4）|}＝max{|2a﹣3|，a2
﹣2，|8a﹣18|}，
又a2﹣2﹣（8a﹣18）＝（a﹣4）2＞0，a2﹣2﹣（18﹣8a）＝（a﹣2）（a+10），a2﹣2﹣（2a﹣3）＝（a﹣1）2，18﹣8a﹣（3﹣2a）＝15﹣6a， ∴当当当当
时，g（a）＝|f（a）|＝a2﹣2； 时，g（a）＝|f（a）|＝a2﹣2； 时，g（a）＝|f（4）|＝18﹣8a； 时，g（a）＝|f（4）|＝18﹣8a；
综上，，
故g（a）的取值范围为．
2024-2024学年人教A版浙江省绍兴市诸暨市高一（上）期末数学试卷 含解析
