第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型
一、典型例题分析
1、下列哪种情况是异方差性造成的结果？ （1）OLS估计量是有偏的
（2）通常的t检验不再服从t分布。
（3）OLS估计量不再具有最佳线性无偏性。 解答： 第（2）与（3）种情况可能由于异方差性造成。异方差性并不会引起OLS估计量出现偏误。
2、已知模型
Yt??0??1X1t??2X2t?ut
Var(ut)??t2??2Zt2
式中，Y、X1、X2和Z的数据已知。假设给定权数wt，加权最小二乘法就是求下式中的各β，以使的该式最小
RSS??(wtut)2??(wtYt??0wt??1wtX1t??2wtX2t)2
（1）求RSS对?1、?2和?2的偏微分并写出正规方程。 （2）用Z去除原模型，写出所得新模型的正规方程组。
（3）把wt?1/Zt带入（1）中的正规方程，并证明它们和在（2）中推导的结果一样。 解答： （1）由RSS??(wu)tt0t2??(wtYt??0wt??1wtX1t??2wtX2t)2对各β求偏导得如
??2wtX2t)wt?0 ??2wtX2t)wtX1t?0 ??2wtX2t)wtX1t?0
下正规方程组：
?(wY??w??wXtt1t1t?(wY??w??wXtt0t1t1t?(wY??w??wXtt0t1t1t（2）用Z去除原模型，得如下新模型
Yt?XXu?0??11t??22t?t ZtZtZtZtZt对应的正规方程组如下所示：
?(?(?(Yt?0XX1???11t??22t)?0 ZtZtZtZtZtYt?0XXX???11t??22t)1t?0 ZtZtZtZtZtYt?0XXX???11t??22t)2t?0 ZtZtZtZtZt1代替（1）中的wt，则容易看到与（2）中的正规方程组是一样的。 Zt（3）如果用
3、已知模型 Yi??0??1X1i??2X2i?ui
式中，Yi为某公司在第i个地区的销售额；X1i为该地区的总收入；X2i为该公司在该地区投入的广告费用（i=0,1,2??,50）。
（1）由于不同地区人口规模Pi可能影响着该公司在该地区的销售，因此有理由怀疑随机误差项ui是异方差的。假设?i依赖于总体Pi的容量，请逐步描述你如何对此进行检验。需说明：1）零假设和备择假设；2）要进行的回归；3）要计算的检验统计值及它的分布（包括自由度）；4）接受或拒绝零假设的标准。 （2）假设?i??Pi。逐步描述如何求得BLUE并给出理论依据。 解答：
（1）如果?i依赖于总体Pi的容量，则随机扰动项的方差?i2依赖于Pi2。因此，要进
2行的回归的一种形式为?i2??0??1Pi??i。于是，要检验的零假设H0：?1?0，备择
假设H1：?1?0。检验步骤如下：
~2； 第一步：使用OLS方法估计模型，并保存残差平方项ei~2对常数项C和P2的回归 第二步：做eii第三步：考察估计的参数?1的t统计量，它在零假设下服从自由度为2的t分布。 第四步：给定显著性水平面0.05（或其他），查相应的自由度为2的t分布的临界值，
?1的t统计值大于该临界值，则拒绝同方差的零假设。 如果估计的参数?（2）假设?i??Pi时，模型除以Pi有：
YiXXu1??0??11i??22i?i PiPiPiPiPi由于Var(ui/Pi)??i2/Pi2??2，所以在该变换模型中可以使用OLS方法，得出BLUE估计值。方法是对Yi/Pi关于1/Pi、X1i/Pi、X2i/Pi做回归，不包括常数项。 4、以某地区22年的年度数据估计了如下工业就业回归方程
Y??3.89?0.51lnX1?0.25lnX2?0.62lnX3
（-0.56）(2.3) (-1.7) (5.8)
R?0.996 DW?1.147
式中，Y为总就业量；X1为总收入；X2为平均月工资率；X3为地方政府的总支出。
试证明：一阶自相关的DW检验是无定论的。 解答：
由于样本容量n=22，解释变量个数为k=3，在5%在显著性水平下，相应的上下临界值为 dU?1.664、dL?1.503。由于DW=1.147位于这两个值之间，所以DW检验是无定论的。
2二、习题
1．判断下列各题对错，并简单说明理由：
1) 在存在异方差情况下，普通最小二乘法（OLS）估计量是有偏的和无效的； 2) 如果存在异方差，通常使用的t检验和F检验是无效的；
3) 在存在异方差情况下，常用的OLS法总是高估了估计量的标准差；
4) 如果从OLS回归中估计的残差呈现系统模式，则意味着数据中存在着异方差； 5) 当存在序列相关时，OLS估计量是有偏的并且也是无效的； 6) 消除序列相关的一阶差分变换假定自相关系数?必须等于1； 7) 回归模型中误差项ut存在异方差时，OLS估计不再是有效的； 8) 回归模型中误差项ut存在序列相关时，OLS估计不再是无偏的；
2．简述异方差对下列各项有何影响：（1）OLS估计量及其方差；（2）置信区间；（3）显著性t检验和F检验的使用。
3．已知消费模型：yt??0??1x1t??2x2t?ut 其中：yt——消费支出
x1t——个人可支配收入
x2t——消费者的流动资产 E(ut)?0
22 Var(ut)??2x1t(其中?为常数）要求：
（1）进行适当变换消除异方差，并证明之；
（2）写出消除异方差后，模型的参数估计量的表达式。
4．什么是异方差性？举例说明经济现象中的异方差性。检验异方差性的方法思路是什么？ 5．什么是序列相关性？举例说明经济现象中序列相关性的存在。检验序列相关性的方法思路是什么？熟悉D.W.统计量的计算方法和查表判断。
6．对于线性回归模型：Yt??0??1Xt?ut ，已知u为一阶自回归形式：ut??ut?1??t，
要求：证明?的估计值为：??
?
?ee
t?2n
n
tt?1
2t?1
?e
t?2
7．某上市公司的子公司的年销售额Yt与其总公司年销售额Xt的观测数据如下表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 X 127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 Y 20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7 Y 24.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78 要求：
(1)用最小二乘法估计Yt关于Xt的回归方程； (2)用D.W.检验分析随机项的一阶自相关性； (3)用Durbin两步法估计回归模型的参数； (4)直接用差分法估计回归模型的参数.
三、习题解答
1．答：
⑴错。当存在异方差情况下，OLS法估计量是无偏的但不具有有效性。 ⑵对。如果存在异方差，通常使用的t检验和F检验是无效的。 ⑶ 错。实际情况可能是高估也可能是低估。
⑷对。通过将残差对其相应的观察值描图，了解变量与残差之间是否存在可以观察到的系统模式，就可以判断数据中是否存在异方差。
⑸错。当存在序列相关时，OLS法估计量是无偏的但不具有有效性。
对。即假设误差项之间是完全正序列相关的，这样广义差分方程就转化为一阶差分方程。 ⑺对。 ⑻对。
⑼错。仍是无偏的。
2．答：由于异方差的存在，使得：⑴OLS估计量仍是线性无偏但不再具有最小方差，即不再有效；相应的置信区间和t检验、F检验都是不可靠的。 3．答：
⑴模型两边同时除以x1t进行变换，得：
yt?0xu???1??22t?t x1tx1tx1tx1t?1??0??x?1t其中：?t???x2t??????12???x????t ??1t?utu，可以证明误差项?t?t是同方差的。证明如下： x1tx1tutut2ut2?2x12t2222已知：?t?，?t?2，E(?t)?E(2)?E(2)?E(?)??（根据已知条件
x1tx1tx1tx1t?2为常数），证得变换后的误差项是同方差的。
⑵
4．答：对于模型yi??0??1x1i??2x2i????kxki?ui（i?1,2,?,n），如果出现
Var(ui)??i2,(i?1,2,?,n)，即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而且
经典单方程计量经济学模型放宽基本假定的模型重点
