初中数学人教新版七年级下册实用资料
16 不等式（组）
阅读与思考
客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：
1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.
2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.
例题与求解
?2x?5?3?x??5【例1】已知关于x的不等式组?恰好有5个整数解，则t的取值范围是（ ）
x?3??t?x?2 A、?6?t??
(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）
解题思路：把x的解集用含t的式子表示，根据题意，结合数轴分析t的取值范围. 【例2】如果关于x的不等式(2m?n)x?m?5n?0的解集为x?11111111 B、?6?t?? C、?6?t?? D、?6?t?? 222210那么关于x的不等式7mx?n(m?0)的解集为 . （黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）
解题思路：从已知条件出发，解关于x的不等式，求出m，n的值或m，n的关系. 【例3】已知方程组??x?y?2若方程组有非负整数解，求正整数m的值.
?mx?y?6 （天津市竞赛试题）
1
解题思路：解关于x，y的方程组，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围.
【例4】已知三个非负数a，b，c满足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，求m的
最大
值和最小值.
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最大值与最小值.
【例6】设x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7是自然数，x1?x2?x3?x4?x5?x6?x7，
x1?x2?x3,x2?x3?x4,x3?x4?x5,x4?x5?x6x5?x6?x7,又x1?x2?x3?x4?x5?x6?x7?2010，求x1?x2?x3的最大值.
，
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.
【例6】已知实数a，b满足1?a?b?4,0?a?b?1,且a－2b有最大值，求8a＋2003b的值. 解题思路：解法一：已知a－b的范围，需知－b的范围，即可知a－2b的最大值得情形. 解法二：设a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b)＝（m＋n)a＋（m－n)b
2
能力训练
A级
1、已知关于x的不等式
2m?x4mx?13?的解集是x?那么m的值是 324（“希望杯”邀请赛试题）
2、不等式组??x?2a?4 的解集是
0?x?2，那么a＋b的值为
?2x?b?5（湖北省武汉市竞赛试题）
3、若a＋b＜0，ab＜0，a＜b，则a,?a,b,?b的大小关系用不等式表示为
（湖北省武汉市竞赛试题）
4、若方程组??x?y?m?2的解x，y都是正数，则m的取值范围 是
?4x?5y?6m?3 （河南省中考试题）
5、关于x的不等式ax?3a?3?x的解集为x??3，则a应满足（ ） A、a＞1 B、a＜1 C、a?1 D、a?1
(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）
6、适合不等式2x?1??3x?14?4x?21的x的取值的范围是（ ）
7、已知不等式(mx?1)(x?2)?0的解集?3?x??2那么m等于（ ） A、
11 B、? C、3 D、－3 33228、已知a?0，下面给出4个结论：①a?1?0；②1?a?0；③1?一定成立的结论有（ ）
11?11??1，其中，④a2a2 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
（江苏省竞赛试题）
3
9、当k为何整数值时，方程组 ??x?2y?6有正整数解？
?x?y?9?3k（天津市竞赛试题）
x?1是关于x，y的方程
10、如果?(ax?by?12)2?ax?by?8?0的解，求不等式组??y?213x?14??x?a?的解集 ?b??ax?3?x?3
??3x?a?0b11、已知关于x的不等式组?的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等x??2?式组的所有可能的整数对（a，b）共有多少个？
（江苏省竞赛试题）
B级
1、如果关于x的不等式ax?3?0的正整数解为1，2，3那么a的取值范围是
（北京市”迎春杯“竞赛试题）
2、若不等式组??x?a?0有解， 则a的取值范围是___________.
1?2x?x?2?（海南省竞赛试题）
3、已知不等式3x?a?0只有三个正整数解，那么这时正数a的取值范围为 .
（”希望杯“邀请赛试题）
4、已知?1?2x?1?1则
2?1的取值范围为 . x(“新知杯”上海市竞赛试题）
4
?11?6c?a?b?2c?5?35、若正数a，b，c满足不等式组 ?a?b?c?a，则a，b，c的大小关系是（ ）
23?511?b?a?c?b?4?2 A、a＜b＜c B、 b＜c＜a C、c＜a＜b D、不确定
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
6、一共（ ）个整数x适合不等式x?2000?x?9999
A、10000 B、20000 C、9999 D、80000
（五羊杯“竞赛试题）
7、已知m，n是整数，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，则mn的值是（ ） A、70 B、72 C、77 D、84 8、不等式x?x?5的解集为（ ） A、x?5555 B、x? C、x?? D、x?? 2222（山东省竞赛试题）
9、已知2x?15?3x?1?x?,求x?1?x?3的最大值和最小值. 32（北京市”迎春杯”竞赛试题）
10、已知x，y，z是三个非负有理数，且满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若s＝2x＋y－z，求s的取值范围.
（天津市竞赛试题）
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初中数学人教新版七年级下册培优：专题16-不等式试题(含答案)
