数字信号处理
学 号：140808520307
学生所在学院：测试与光电工程
学 生 姓 名 ：黎德
任 课 教 师 ：李志农
教师所在学院：测试与光电工程
2014年10月
2014级
一种典型的时频分析方法—S变换
黎德
测试与光电工程学院
摘 要：目前提出的时频分析方法有很多，并在机械、电子、生物、医学等很多领域得到了广泛
的应用。本文主要介绍一种典型时频分析方法，S变换。
关键词：时频分析方法；S变换
S变换是小波变换和短时傅里叶变换结合发展起来的一种时频分析方法，它采用与频率（即尺度）有关的高斯窗函数，也即采用频率作为自变量的高斯函数，其时频分辨率随着频率的不同而变化，具有线性、多分辨率、逆变换唯一等特点，而且它获得的二维时频谱与傅里叶变换保持着直接的联系，已经在盲信号分离、医学图像处理、地震波分析、故障检测等很多领域得到了广泛应用。
[1]
信号S变换的分辨率与频率有关,且其结果具有无损可逆性,然而S变换中的基本小波函数是固定不变的,因此其在实际应用中受到了限制.高静怀等提出了根据“实际需要”恰当地选择或构造基本小波函数的广义S变换方法[2]. Pinnegar给出了既可调节窗口标准差又非对称的另外一种广义S变换方法[3].Pinnegar在研究信号频率随时间变化的问题时,提出了多尺度和非零相位复数窗的广义S变换方法[4].
S变换方法在国内外得到了广泛的应用:在地震勘探中用于时频分析[5-6]、地震相和主[8-9][9-13][14][15]
频分析、人工地震探测、地震波的衰减分析、地震层特征分析和油气探测与
[16-17]
预测等.尤其是应用S变换在时变滤波中去除噪声具有明显的效果。
1 S变换的定义
S变换是Stockwell在研究众多常用的时频分析方法的基础上提出的,它是一种随着频率发生变化,时频分辨率也会发生变化的时频分析方法[18]。由于S变换具有很好的时频特性，因而在很多领域中都被广泛应用[19-20]。s变换在分析高频信号或低频信号时具有良好的特性,对于高频信号,窗口会比较窄,满足高时间分辨率要求,而对于低频信号,窗口会比较宽,满足高频率分辨率要求。
S变换的定义如下：
??S??,f ?????h?t?f2??e??f2???t?2???2???2?ift??edt
以上公式成为h(t)的S变换，t表示的是时间，τ用来控制高斯窗口在时间轴上的
位置。
反变换描述为：
??i2?fth?t?????S??,f?d??edf??????
????2 S变换的原理
2.1 一维连续S变换
S变换由R.G.Stockwell于1996年提出，是一种可逆的局部时频分析方法/其思想是对连续小波变换和短时傅立叶变换的发展。
信号x(t)的S变换S(t,f)定义如下：
S?t,f???????x?t?????t,f?ef2?e??j2?ft?dt
???? (1)
????t,f????f2???t?2??2? (2)
式中????t,f?为高斯窗口（Gaussian Window）；?为控制高斯窗口在t轴位置的参数。由式中可以看出，S变换不同于短时傅里叶变换之处在于高斯窗口的高度和宽度随
频率而变化，这样就克服了短时傅里叶变换窗口高度和宽度固定的缺陷。
信号x?t?可以由其S变换S?t,f?很好的重构，其S逆变换为：
x?t??????S?,fd????exp?j2?ft?df ??????????? (3)
S变换可以看作是对连续小波变换的一种相位修正，并可以从连续小波变换推导而来。信号x?t?的连续小波变换可以定义如下：
W?? ,d???x?t???t??,d?dt
???? (4)
式中d,?分别为伸缩参数和时移参数；W?t??,d?为母小波的伸缩时移变换。如果选取变换核为一高斯窗和以复向量的乘积，即：
?t2f2???2???????t,f??fe2?e??j2?ft?
(5)
注意，此时伸缩参数d为频率f的倒数。
于是，信号x(t)的S变换式（1）可以表示为式（5）作为变换核进行连续小波变换，再乘上一个相位校正因子，即：
S?? ,t??ej2?f?W??,d?
(6)
2.2 一维离散S变换
对（1）右边先做传统的Fourier变换，再做Fourier反变换，最后进行变量代换，将S变换转换成信号x(t)的傅里叶反变换X（f）的函数，即：
S?? ,f???????X?v?f?eN?1??2?2v2??f2?????ej2?v?dv,f?0
(7)
对（7）进行离散化，可以得到S变换的离散表示形式：
n???m?n?S?kT,?Xe????NT?m?0?NT???2?2m2n2ej2?mkN (8)
1S?kT,0??Nm?0? ?x??NT??j2?nk??N?N?1?m? (9)
???n?1N?1其中： X???h?kT?e???NT?Nk?1式中k,m,n=0,1,2,??N-1(n?0)。
信号S变换时，频矩阵中元素的幅值为：
(10)
n??A?kT,??NT??n??S?kT,,(k,n?0,1,??N?1) ?NT?? (11)
显然，时间序列x(t)的S变换结果是一个复时间频矩阵，记为S矩阵，其行对应频
[21]
率，列对应时间，将S矩阵各个元素求模后得到的矩阵记为S模矩阵，其列向量表示信号某一时刻的幅值随频率变化的分布。因此S摸矩阵某位置元素的大小就是相应频率和时间处信号S变换的幅值，S变换的结果二维等高线图等直观的表示。
3 S变换算法
由于使用了褶积定理和快速傅里叶变换，S变换的计算速度显得比较快。在实际应用中，可以按以下步骤计算S变换。
a.
?m??m?计算h(t)的快速傅里叶变换（FFT）的谱H?后，将谱频移n得到H???NTNT?????m?n?频移谱H?，n为频率采样点数。??NT?
2?2m2n2b. 直接计算得到g?t,f?f2?e?t2f22的快速傅里叶变换G?m,n??e?。
?m?n?c. 按频率采样点计算H?G?m,n?。 ??NT?n??m?n????d. 计算H?的快速傅里叶反变换（IFFT），得到S变换谱。 Gm,nSjT,???NTNT????
4 S变换与其他典型信号分析方法对比
4.1 S变换与短时傅里叶变换对比
S变换相对于短时傅里叶变换的主要优点是:S变换属于多分辨率时频分析方法。而短时傅里叶变换是单分辨率的时频分析方法。从下面的两种变换的时频分布网格可以更清楚的了解到两种变换的时频分析窗口的区别。
4-1时频分布网络
短时傅里叶变换由于使用的窗口比较固定，在整个频率范围内，它的频率分辨率并没有发生变化；而S变换由于可以自动的调节窗口，在高频处频率分辨率相对变低，有较高的时间分辨率，这正符合非平稳信号的分析要求。
4.2 S变换与小波对比
通过前面介绍,知道S变换和小波变换都是多分辨率分析方法。我们更加关注它们之间存在的区别：小波变换并不是严格意义上的时频分析,它并没有与频率完全对应，而S变换则不同,它与频率可以对应：小波变换的效果与所选用的小波函数具有直接的关系，小波存在多解性，在重构时难免会产生信息丢失，而S变换是无损可逆的。
4.3 S变换与Wigner一Ville分布对比
对于含有多信号分量的信号wigner一ville分布将会产生交叉项，这会严重影响信号的分析，而S变换不存在交叉项，没有这类影响。
S变换和wigner一ville分布均可以捕捉到信号，但交叉区域存在大量的干扰，严重的影响了信号的分析，这是wgigner一ville分布的不足。S变换是一种时频分辨率自适应变化的分析方法。
总的来说，S变换更适合于信号的时频分析，尤其对于比较复杂的包含较多信号分量。S变换作为一种良好的时频分析方法，已经被广泛的应用在各种信号处理中，如：地震波低频伴影观测[22]，面波频散分析[23]，时频域补偿[24]等。
5 S变换的应用
S变换应用于广泛的信号处理中，以下介绍几种S变换的应用。 1) 电能质量扰动信号分析的应用
现代电力系统中，电力电子设备的应用越来越广泛，各种非线性、冲击性、波动性负载也大量增加，使电力系统所遭受的电能质量污染也日趋严重。同时信息科技的发展则对电能质量及供电可靠性提出更高的要求。对电能质量进行监测和分析是发现电力质量问题并进行治理和改善的前提条件，而如何从大量的电能质量扰动信号中自动提取特征并进行正确分类则是电能质量监测分析系统首先要解决的问题。
电能质量的扰动信号主要有8种，分别是电压凹陷、电压隆起、短时中断、电压尖峰、电压缺口、谐波、间谐波和瞬态振荡。S变换是由连续小波变换核短时傅里叶变换结合发展起来的一种时频分析方法，其引入了宽度与频率成反向变换的高斯窗，具有与频率相关的分辨率。由于S变换具有很好的时频特性，因而S变换非常适合电能质量扰
一种典型的时频分析方法—S变换
