第 37 届全国中学生物理竞赛预赛试题

V2 mgcos??m ③ R式中，?是O点相对于它所在横截面中心C的矢径与竖直方向的夹角，V是钢球在O点抛落时的速度（见解题图14a）。由③式得 V?gRcos? ④ 球脱离筒壁作抛体运动，在以O为原点坐标系中有 gX2Y?Xtan??222Vcos? ⑤ X2 ?Xtan??2Rcos3?钢球所在的圆筒截面的圆周方程为

（X?Rsin?)2?(Y+Rcos?)2?R2 ⑥

方程组⑤⑥有两个解，其一为(0,0)，这是抛出点O的坐标；其二是球的落点A的坐标

解题图14a

XA?4Rsin?cos2? Y??4Rcos?sin2?A钢球在A点的速度为

⑦

vx?Vcos?, v?2gH?3Vsin?y ⑧ 式中，H是钢球做抛体运动的最高点相对于A点的高度 V2sin2?9H??YA?Rcos?sin2? ⑨ 2g2设A点相对于C点的矢径与水平方向的夹角为?，则由几何关系有 sin??|YA|?Rcos??(4sin2??1)cos? ⑩ R同理有 cos??XA?Rsin??(4cos2??1)sin? R由⑧⑩式得，钢球在A点垂直于筒壁的速度（打击附在筒壁上的矿粉的速度）为

vn?vxcos??vysin??8Vsin

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3

?cos? ?

由④?式得 42vn?8gR??sin?(1?sin?)??3/49/4?sin2?sin2??23 ?162gR?(1?sin?)?22?? ? ? ?162gR?sin2??sin2?9/4?(1?sin2?)???9?2243???16?3?2gR?式中的等号当且仅当 sin2 ?2?(1?sin2?) 时成立，于是有 ??arcsin63 这时，由?式知，小球的径向速度最大，即小球对矿石的冲击作用最大。 [或： 要使小球对矿石的冲击作用最大，必须使小球的径向速度最大，即 dvnd??6Rgsin2?cos?(1?3cos2?)?0， 解得 ??arcsin63 ] 此时，圆筒的角速度为 ??gcos?R=3?1/4gR?0.7598gR 钢球对矿石的冲击功为 W?1mv222n?32mV2sin6?cos??32mgRsin6?cos3? 将?式代入?式得，钢球对矿石的最大冲击功为 Wmax?2563243mgR=1.8247mgR 第 6 页 , 共 8 页

? ? ? ? ? ? 评分标准： 本题20分，第（1）问3分，①式1分，②式2分；第（2）问17分，③④⑤⑥式各1分，⑦⑧式2分，⑨⑩式各1分，?式2分，?????式各1分。 15.

（1）对b棒，由能量守恒，可得弹簧的弹性势能为

Ep?

12

， ① Mv0

2

由右手定则知，a棒中电流的方向：

从上端流向下端。 ② （2）b棒与a棒相碰撞前后，由动量守恒知

Mv0?(M?m)v ③ 由题意，系统的总动能全部转化为电路产生的总的焦耳热Q总

1

(M?m)v2?Q总。 ④ 2

Q总和a棒产生的焦耳热Q满足

Q总?r?R， Q?r 因而

Q?

联立③④⑤式得

r

Q总， ⑤ r?R

2

rM2v0

Q? ⑥

2(r?R)(M?m)

（3）若a棒向左滑行的距离?x通过定值电阻的电量为

?q?I?t， ⑦ 式中I是时刻t的回路电流

I?

BLv?

⑧ R?r

式中，v?是t时刻a棒的滑行速度。由⑦⑧式得 ?q?

BLBL

⑨ v??t??x

R?rR?r

因此，将⑨式两边求和得，a棒向左滑行的距离x的过程中通过定值电阻的电量为

q?

BLx

⑩ R?r

评分标准：本题20分，第（1）问3分，①式2分，②式1分；第（2）问8分，③④⑤⑥式各2分；第（3）问9分，⑦式2分，⑧式3分，⑨⑩式各2分。

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16.

（1）设电磁铁磁场的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为v1，电磁铁的L1边切割磁力线产生的感应电动势E1和感应电流I1分别为

E1?B1L1v1 ①

I1?

E1

, ② R1

电磁铁受到的安培力F安产生的加速度a满足

F安?B1I1L1?m1a ③

由①②③式和题给数据得，模型车的速度为

R1m1a

v1?22?5.00 m/s ④

B1L1

（2）模型车由v0减速到v1过程中，做匀减速运动，由运动学公式有

22v0?v1

x1??93.8m ⑤

2a

在磁感应强度达到最大后，模型车速度为v时，其所受到的安培力的大小为:

2B12L1vF?. ⑥

R1

对模型车从速度为v1开始减速至停止运动的制动过程，应用动量定理得

由⑥⑦式得

?F?t?mv, ⑦

11

2B12L1v

?t?m1v1 ⑧ ?R1

由⑧式和题给数据得

x2??v?t?

m1R1v1

?12.5m ⑨ 2

B12L1

模型车的制动距离为

x?x1?x2?106.3 m ⑩

评分标准：本题20分，第（1）问8分，①②③④式各2分；第（2）问12分，⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各2分（采用其它解法得出正确结果的，同样给分）。

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