16. （20分）线性涡流制动是磁悬浮列车高速运行过程中进行制动的一种方式。某研究所制成如图16a所示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程。车厢下端有电磁铁系统固定在车厢上，能在长L1?0.600 m、宽L2?0.200 m的矩形区域内产生沿竖直方向的匀强磁场，磁感应强度可随车速的减小而自动增大（由车内速度传感器控制），但最大不超过B1?2.00 T，长大于L1、宽也为L2的单匝矩形线圈间隔铺设在轨道正中央，其间隔
也为L2，每个线圈的电阻为R1?0.100 ?，导线粗细忽略不计。在某次实验中，模型车速度为v0?20.0 m/s时，启动电磁铁制动系统，车立即以加速度a?2.00 m/s2 做匀减速直线运动；当磁感应强度增加到2.00 T后，磁感应强度保持不变，直到模型车停止运动。已知模型车的总质量为m1?36.0 kg，不计空气阻力，不考虑磁场边缘效应的影响。求
（1）电磁铁磁场的磁感应强度达到最大时，模型车的速度； （2）模型车的制动距离。
图16a
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第37届全国中学生物理竞赛预赛试题参考解答
（2020年9月5日9:00-12:00）
一、选择题（本题30分，含5小题，每小题6 分。在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。将符合题意的选项前面的英文字母写在答题纸对应小题后面的括号内。全部选对的得 6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。）
1. B 2. C 3. C D 4. C D 5. D
二、填空题（本题50 分，每小题10分。请将答案填在答题纸对应题号后面的横线上。只需给出结果，不需写出求得结果的过程。）
6. 1.2，2.0 7. 低于，正负号和大小都不变
8. 3.1×10， 16 9. 72，2.3 10. 3.74，3.74
三、计算题（本题 120分，本题共6小题，每小题20 分。计算题的解答应写出必要的文字 说明、方程式和重要的演算步骤, 只写出最后结果的不能得分。有数值计算的, 答案中必须 明确写出数值，有单位的必须写出单位。）
11. 漏电大气层可视为高度为50 km、横截面积为地球表面积的物质，漏电电流为 I?
q
① t
2
根据欧姆定律，漏电大气层的电阻为
U
② I
由电阻定律，漏电大气层的电阻率?满足
R?
R??由此得
l?l? ③ S4πr24πr2R
???1.7?1012?m ④
l
向地球的平均漏电功率为
P?UI?3?105?1800W?5.4?108W ⑤
评分标准：本题20分，①②③④⑤式各4分。
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12.
（1）由牛顿第二定律，潜艇刚“掉深”时加速度a1 满足
mg?F?ma1 ①
式中，按题给数据，此时潜艇所受浮力F?2.4?107 N。解得
a1?2.0 m/s2，方向竖直向下 ②
“掉深”历时t1?10s时，潜艇下落高度为
1
h1?a1t12?1.0?102 m ③
2
潜艇速度为
v1?a1t1?20 m/s ④
减重后，潜艇以加速度a2?1.0 m/s2匀减速下落，直至其速度为零，潜艇下落的距离为
2v1
h2??2.0?102 m ⑤
2a2
潜艇“掉深”达到的最大深度为
h?h0?h1?h2?5.0?102 m ⑥ （2）潜艇在减重后减速下降过程中，由牛顿第二定律有
F?m1g?m1a2 ⑦
解得
m1?2.2?106 kg ⑧
设潜艇从水面下200 m处升到水面的过程中加速度为a3，按运动学公式有 解得
2vh?h0?2a2(h1?h2)?2a3h0， ⑨
a3?1.5m/s2，方向竖直向下 ⑩
在潜艇从水面下200 m处升到达水面的过程中，由牛顿第二定律有
m2g?F?m2a3, ?
解得
m2?2.8?106kg ?
评分标准：本题20分，第（1）问10分，①②③④式各2分，⑤⑥式各1分；第（2）问10分，⑦式2分，⑧式1分，⑨⑩?式各2分，?式1分。
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13.
（1）由近轴条件下单球面的成像公式有
nn0n?n0?? ① ss?r
式中，n0和n分别是空气和水的折射率，s?r是小鱼到球面的距离，s?是小鱼的像离球面的距离。依题意， s?r 将上式代入①式得
s??r?50 cm ② 即观察者看到的鱼的像（虚像）与鱼所在处重合。像的横向放大率为
解题图13a
??
ns?n4
???1.33 ③ n0sn03
（2）如解题图13a，设与水球球心O距离为a处有一小鱼M。从M点发出任一光线MB与OM的延长线OO?的夹角为?，从M点发出的另一光线MA与OO?垂直，光线MA、MB在玻璃球壳上的入射点分别为A、B，入射角分别为?、?。在?OBM中，由正弦定理有 ar
? ④ sin?sin?
在直角?OAM中有
sin??又
a
⑤ r
sin??1 ⑥ 由④⑤⑥式得
???
为了保证从M点发出的光线有发生全反射的可能，至少要求
式中C是水的全反射临界角
⑦
解题图13b
sin??sinC ⑧
1
⑨ n
sinC?由⑤⑧⑨式和题给数据得 a?
13
r?r ⑩ n4
解题图13c
值得指出的是：⑨式中的n是水相对于空气的折射率。这时从M发出的光线一定可以折射入玻璃内部；但由于题设，玻璃球壁很薄，光线穿过等厚的薄壁玻璃（对于某根光线，该处玻璃可视为一小平面）前后（只要光线能穿过），其方向实际上没有发生偏折（即使玻璃与水的折射率不一样）；相当于从M发出的光线直接入射到与水的交界面上。
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考虑到球的旋转对称性，则处于解题图13b所示的阴影区内的鱼发出的光线都有可能出现全反射，也就是说，鱼可能“消失”的位置范围是
解题图13b所示的阴影区 ? 现考虑观察者的观测位置范围。在解题图13c中，假设鱼所在位置N到球心的距离b满足
3
r?b?r?37.5cm， ?
4即在解题图13b的阴影之内。由以上讨论知，从N发出的垂直于ON的光线NA的入射角必大于水相对于空气的全反射临界角C；且该入射角为极大值，光线NA两侧的入射光线NB、ND等的入射角都小于NA的入射角。
进而，当NB、ND的入射角都等于全反射临界角C时，NB、ND之间的所有入射光线的入射角都大于全反射临界角，而发生全反射。NB、ND分别对应临界的折射光线BB?、DD?。所以，当观察者的眼睛处于解题图13c所示的BB?、DD?之间的阴影区域时，就看不到位于N点的鱼。再考虑球的对称性，将解题图13c绕ON轴旋转一周，则眼睛看不到N点的鱼时应选取的观测位置范围是
解题图13c的阴影区域的集合 ? 由以上讨论可知，鱼在鱼缸中“消失”需要两个条件：一是鱼要相对靠近鱼缸内壁，二是要选择合适的观察位置。
评分标准：本题20分。第（1）问3分，①②③式各1分（用其它方法得到正确结果的，同 样给分）。第（2）问17分，④⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分，⑩???各2分（图示定性正确）。 14.
（1）由题意知，为使球磨机正常工作，钢球不能处于离心状态。即在钢球上升至其最高点点处满足
mg?m?2R ① 由此得，球磨机正常工作时圆筒转动的角速度范围为 0???g ② R（2）为使钢球对矿石的冲击作用最大，钢球应在圆筒某横截面上处于抛落状态。假设钢球被提升至O点时，小球刚好脱离筒壁作抛体运动。此时，筒壁对钢球的正压力为零，由牛顿第二定律有 第 4 页 , 共 8 页
第 37 届全国中学生物理竞赛预赛试题
