2016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案
一试
一、选择题：（每小题8分，共64分）
1.等比数列?an?的各项均为正数，且a1a3?a2a6?2a32?36,则a2?a4的值为 ． 答案：6．
解：由于36?a1a3?a2a6?2a32?a22?a42?2a2a4??a2?a4?,且a2?a4?0,故a2?a4?6. 另解：设等比数列的公比为q，则a2?a6?a1q?a1q5.又因 36?a1a3?a2a6?2a32?a1?a1q2?a1q?a1q5?2a1q2??a1q??2?a1q?a1q2332321112????aq???aq?aq???a22?a4?,2
而a2?a4?0，从而a2?a4?6.
2.设A??a|?1?a?2?，则平面点集B???x,y?|x,y?A,x?y?0?的面积为 ．
答案：7．
解：点集B如图中阴影部分所示，其面积为 S正方形MNPQ?SMRS1?3?3??2?2?7.
2
3.已知复数z满足z2?2z?z?z（z表示z的共轭复数），则z的所有可能值的积为 ． 答案：3．
解：设z?a?bi?a,b?R?.由z2?2z?z知， a2?b2?2abi?2a?2bi?a?bi,
比较虚、实部得a2?b2?a?0,2ab?3b?0.又由z?z知b?0，从而有
2a?3?0,即a??，进而b??a2?a??323. 2?33??33???i????i?3. 于是，满足条件的复数z的积为??22??22??????4.已知f?x?,g?x?均为定义在R上的函数，f?x?的图像关于直线x?1对称，g?x?的图
1
像关于点?1,?2?中心对称，且f?x??g?x??9x?x3?1，则f?2?g?2?的值为 ．
答案：2016. 解：由条件知
f?0??g?0??2, ①
f?2??g?2??81?8?1?90. ②
由f?x?,g?x?图像的对称性，可得f?0??f?2?,g?0??g?2???4,结合①知， f?2??g?2??4?f?0??g?0??2. ③
由②、③解得f?2??48,g?2??42,从而f?2?g?2??48?42?2016.
另解：因为
f?x??g?x??9x?x3?1， ①
所以
f?2??g?2??90. ②
因为f?x?的图像关于直线x?1对称，所以 f?x??f?2?x?. ③
又因为g?x?的图像关于点?1,?2?中心对称，所以函数h?x??g?x?1??2是奇函数，h??x???h?x?，g??x?1??2????g?x?1??2??，从而
g?x???g?2?x??4. ④
将③、④代入①，再移项，得 f?2?x??g?2?x??9x?x3?5. ⑤
在⑤式中令x?0，得
f?2??g?2??6. ⑥
由②、⑥解得f?2??48,g?2??46.于是f?2?g?2??2016.
5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子A,B,C,D,E中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．
解：样本空间中有53?125个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为
6012C32?P52?60.过所求的概率为p??.
125256.在平面直角坐标系xOy中，圆C1:x2?y2?a?0关于直线l对称的圆为
2
C2:x2?y2?2x?2ay?3?0,则直线l的方程为 ．
答案：2x?4y?5?0.
解：C1,C2的标准方程分别为
C1:x2?y2?1,C2:?x?1???y?a??a2?2.
由于两圆关于直线l对称，所以它们的半径相等．因此a?a2?2?0,解得a?2.故C1,C2的圆心分别是O1?0,0?,O2??1,2?.直线l就是线段O1O2的垂直平分线，它通过O1O2的中点?1?M??,1?，由此可得直线l的方程是2x?4y?5?0. ?2?7.已知正四棱锥V-ABCD的高等于AB长度的一半，M是侧棱VB的中点，N是侧棱VD上点，满足DN?2VN，则异面直线AM,BN所成角的余弦值为 ．
uuuruuuruuur解：如图，以底面ABCD的中心O为坐标原点，AB,BC,OV的方向为x,y,z轴的正向，
22
zVNDOAB
yMCx建立空间直角坐标系．不妨设AB?2,此时高VO?1,从而
A??1,?1,0?,B?1,?1,0?,D??1,1,0?,V?0,0,1?.
?111??112?由条件知M?,?,?,N??,,?，因此
?222??333?uuuur?311?uuur?442?AM??,,?,BN???,,?.
?222??333?设异面直线AM,BN所成的角为?，则
uuuuruuurAM?BN?111cos??uuuu?. ruuur?1111AM?BN?223
?n??n??n??n?8.设正整数n满足n?2016，且????????????3．这样的n的个数
?2??4??6??12?为 ．这里?x??x??x?，其中?x?表示不超过x的最大整数．
解：由于对任意整数n，有
?n??n??n??n?13511????????????????3, ?2??4??6??12?24612等号成立的充分必要条件是n??1?mod12?，结合1?n?2016知，满足条件的所有正整数为n?12k?1?k?1,2,L,168?,共有168个．
?x??y?另解：首先注意到，若m为正整数，则对任意整数x,y，若x?y?modm?，则?????.?m??m?这是因为，当x?y?modm?时，x?y?mt，这里t是一个整数，故
y?y?y??y??x?x?x?y?mt?y?mt?y?????t?t?????????m?m??m??m???m?. mmmmm????????????因此，当整数n1,n2满足n1?n2?mod12?时，
?n1??n1??n1??n1??n2??n2??n2??n2????????????????????????. ?2??4??6??12??2??4??6??12??n??n??n??n?容易验证，当正整数满足1?n?12时，只有当n?11时，等式????????????3?2??4??6??12??n??n??n??n?才成立．而2016?12?168，故当1?n?2016时，满足????????????3正整数n的
?2??4??6??12?个数为168.
二、解答题：（共3小题，共56分）
9.（16分）已知?an?是各项均为正数的等比数列，且a50,a51是方程 100lg2x?lg?100x? 的两个不同的解，求a1a2La100的值．
解 对k?50,51，有100lg2ak?lg?100ak??2?lgak,即
100?lgak??lgak?2?0.
因此，lga50,lga51是一元二次方程100t2?t?2?0的两个不同实根，从而 1lg?a50a51??lga50?lga51?,即a50a51?10100.
1001?100?由等比数列的性质知，a1a2La100??a50a51???10??10.
??uuuruuuruuuruuuruuuruuur10.（20分）在ABC中，已知AB?AC?2BA?BC?3CA?CB.
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（1）将BC,CA,AB的长分别记为a,b,c，证明：a2?2b2?3c2； （2）求cosC的最小值．
uuuruuurb2?c2?a2解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，AB?AC?cbcosA?.
2uuuruuura2?c2?b2uuuruuura2?b2?c2同理得，BA?BC?,CA?CB?.故已知条件化为
22b2?c2?a2?2a2?c2?b2?3a2?b2?c2, 即a2?2b2?3c2.
（2）由余弦定理及基本不等式，得
12a?2b2a?b?c3cosC??2ab2ab abab2???2??,3b6a3b6a3222????a2?b2???等号成立当且仅当a:b:c?3:6:5.因此cosC的最小值为2. 311.（20分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的方程为x2?y2?1．求符合以下要求的所有大于1的实数a：过点?a,0?任意作两条互相垂直的直线l1与l2，若l1与双曲线C交于P,Q两点，l2与C交于R,S两点，则总有PQ?RS成立．
解 过点?a,0?作两条互相垂直的直线l1:x?a与l2:y?0.
易知，l1与C交于点P0a,a2?1,Q0a,?a2?1（注意这里a?1），l2与C交于点R0?1,0?,S0??1,0?,由条件知2a2?1?PQ00?R0S0?2，解得a?2.
????这意味着符合条件的a只可能为2. 下面验证a?2符合条件．
事实上，当l1,l2中有某条直线斜率不存在时，则可设l1:x?a,l2:y?0，就是前面所讨论的l1,l2的情况，这时有PQ?RS.若l1,l2的斜率都存在，不妨设
1x?2?k?0?, k注意这里k??1（否则l1将与C的渐近线平行，从而l1与C只有一个交点）．
l1:y?kx?2,l2:y??????联立l1与C的方程知，x2?k2x?2??2?1?0,即
?1?k?x22?22k2x?2k2?1?0,
这是一个二次方程式，其判别式为??4k2?4?0．故l1与C有两个不同的交点P,Q．同样，
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2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案
