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专题:复合函数的定义域
讲解内容:
复合函数的定义域求法 讲解步骤:
第一步:函数概念及其定义域
函数的概念:设是A,B非空数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个
x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A?B为集合A到集合B的函数,
记作:y?f(x),x?A。其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的
y的值叫做函数值.
第二步:复合函数的定义
一般地:若y?f(u),又u?g(x),且g(x)值域与f(u)定义域的交集不空,则函数
y?f[g(x)]叫x的复合函数,其中y?f(u)叫外层函数,u?g(x)叫内层函数,简言之:复合函
数就是:把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
2例如: f(x)?3x?5,g(x)?x?1; 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x换成g(x),
f(g(x))?3g(x)?5?3(x2?1)?5?3x2?8
问:函数f(x)和函数f(x?5)所表示的定义域是否相同?为什么?(不相同;原因:定义域是 求x的取值范围,这里x和x?5所属范围相同,导致它们定义域的范围就不同了。)
第三步:介绍复合函数的定义域求法
例1. 已知f(x)的定义域为?3,5?,求函数f(3x?2)的定义域; 解:由题意得
??3?x?5 ?1?3x?7
??3?3x?2?5
??17?x? 33?17???2 所以函数f(3x?2)的定义域为??,?. 333],求f(x?2x)定义域。 练1.已知f(x)的定义域为(0,解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中,即
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2?x?2x?0?x??2,或x?0?2 0?x?2x?3?? ??2?3?x?1???x?2x?3即?3?x??2或0?x?1
故f(x?2x)的定义域为??3,?2???0,1?
2例2. 若函数f?3?2x?的定义域为??1,2?,求函数f?x?的定义域 解:由题意得
??2?x?3 ??6?3x?9 ??4?2?3x?11 所以函数f(x)的定义域为:??4,11?
例3. 已知f(x?1)的定义域为[?2,3),求f?x?2?的定义域。 解 由f(x?1)的定义域为[?2,3)得?2?x?3,故?1?x?1?4
即得f?x?定义域为[?1,4),从而得到?1?x?2?4,所以1?x?6 故得函数f?x?2?的定义域为?1,6?
例4. 已知函数f?x?定义域为是[a,b],且a?b?0,求函数h?x??f?x?m??f?x?m??m?0?的
定义域
?a?x?m?b?a?m?x?b?m 解: ?,?m?0,?a?m?a?m ??a?x?m?ba?m?x?b?m??b?m?b?m,又a?m?b?m
要使函数h?x?的定义域为非空集合,必须且只需a?m?b?m,即0?m?b?a,这时函数2h?x?的定义域为[a?m,b?m]
第四步:总结解题模板
1.已知f(x)的定义域,求复合函数f[g?x?]的定义域
由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若f(x)的定义域为x??a,b?,求出f[g(x)]中a?g(x)?b的解x的范围,即为f[g(x)]的定义域。
2.已知复合函数f[g?x?]的定义域,求f(x)的定义域
方法是:若f[g?x?]的定义域为x??a,b?,则由a?x?b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。
3.已知复合函数f[g(x)]的定义域,求f[h(x)]的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由f[g?x?]定义域求得22
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f?x?的定义域,再由f?x?的定义域求得f[h?x?]的定义域。
4.已知f(x)的定义域,求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。
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