解析:本题主要考查利用导函数判断函数单调性和利用线性规划求解极值。 （1）（i）先对函数
。
（ii） 分别讨论
和
两种情况下，对
，对其求导，分析其单调性，求得
得（2）列出标函数为
对任意，可求得
。
恒成立的充要条件，画出不等式组的平面区域图，设目的取值范围为
ax求导，得导函数，讨论和两种情况下函数的单调性，求得
进行放缩。再令
。故可
。
8.（本小题满分13分）已知函数f(x)=?e?x，其中a≠0.(1) 若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合.(2) 在函数f(x)的图像上取定两点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))(x1?x2)，记直线AB的斜率为K， 问：是否存在x0∈（x1，x2），使f?(x0)?k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）若a?0，则对一切x?0，f(x)?e?x?1，这与题设矛盾，又a?0，故a?0.
ax而f?(x)?ae?1,令f?(x)?0,得x?ax11ln. aa111111ln时，f?(x)?0,f(x)单调递减；当x?ln时，f?(x)?0,f(x)单调递增，故当x?ln时，f(x)aaaaaa11111取最小值f(ln)??ln.
aaaaa111于是对一切x?R,f(x)?1恒成立，当且仅当 ?ln?1. ①
aaa当x?令g(t)?t?tlnt,则g?(t)??lnt.
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当0?t?1时，g?(t)?0,g(t)单调递增；当t?1时，g?(t)?0,g(t)单调递减. 故当t?1时，g(t)取最大值g(1)?1.因此，当且仅当
1?1即a?1时，①式成立.综上所述，a的取值集合为?1?. af(x2)?f(x1)eax2?eax1eax2?eax1ax（Ⅱ）由题意知，k???1. 令?(x)?f?(x)?k?ae?,
x2?x1x2?x1x2?x1eax1eax2a(x2?x1)a(x1?x2)???则?(x1)?? e?a(x?x)?1,?(x)?e?a(x1?x2)?1?212??. x2?x1?x2?x1?令F(t)?e?t?1，则F?(t)?e?1.
当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递减；当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递增. 故当t?0，F(t)?F(0)?0,即e?t?1?0. 从而ea(x2?x1)ttt?a(x2?x1)?1?0，ea(x1?x2)?a(x1?x2)?1?0,
eax1eax2又?0,?0, ∴?(x1)?0,?(x2)?0. x2?x1x2?x1因为函数y??(x)在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线，∴存在x0?(x1,x2)使
1eax2?eax1?(x0)?0,??(x)?ae?0,?(x)单调递增，故这样的c是唯一的，且c?ln.
aa(x2?x1)2ax1eax2?eax1故当且仅当x?(ln,x2)时， f?(x0)?k.
aa(x2?x1)1eax2?eax1综上所述，存在x0?(x1,x2)使f?(x0)?k成立.且x0的取值范围为(ln,x2)
aa(x2?x1)9. (本题满分14分) 已知函数f(x)?x?ln(x?a)的最小值为0，其中a?0.
（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x?[0,??),有f(x)≤kx成立，求实数k的最小值； （Ⅲ）证明
22?ln(2n?1)?2（n?N*）. ?i?12i?1n、解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(?a,??) f(x)?x?ln(x?a)?f?(x)?1?1x?a?1??0?x?1?a??a x?ax?a?? f(x)?0?x?1?a,f(x)?0??a?x?1?a，得
x?1?a时，f(x)min?f(1?a)?1?a?0?a?1
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（Ⅱ）设g(x)?kx?f(x)?kx?x?ln(x?1)(x?0) 则g(x)?0在x?[0,+?)上恒成立?g(x)min?0?g(0) g(1)?k?1?ln2?0?k?0， g?(x)?2kx?1? ①当2k?1?0(k?
…………（*）
221x(2kx?2k?1) ?x?1x?111?2k)时，g?(x)?0?0?x??x0?g(x0)?g(0)?0与（*）矛盾 22k11 ②当k?时，g?(x)?0?g(x)min?g(0)?0符合（*）， ∴实数k的最小值为
2212（Ⅲ）由（2）得：x?ln(x?1)?x对任意的x?0值恒成立
2 取x?222?[ln(2i?1)?ln(2i?1)]? (i?1,2,3,L,n)：
2i?1(2i?1)22i?12211?ln(2n+1)<2??当时， i?2?22i?1(2i?1)2i?32i?1i=1n 当n?1时，2?ln3?2 得：
n 得：
?[i?121?ln(2i?1)?ln(2i?1)]?2?ln3?1??2. 2i?12n?110.（本小题满分14分）已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得极小值m?1(m?0)．设f(x)?g(x)． x（1）若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； （2）k(k?R)如何取值时，函数y?f(x)?kx存在零点，并求出零点． （1）依题可设g(x)?a(x?1)?m?1 (a?0)，则g'(x)?2a(x?1)?2ax?2a； 又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2，即a?1
22 ?g(x)?(x?1)?m?1?x?2x?m， f?x??2g?x?m?x??2，设P?xo,yo?， xxm2m22)?2x0?2?2m?22m2?2m?22|m|?2m 则|PQ|?x?(y0?2)?x?(x0?x0x0220240m22当且仅当2x?2时，|PQ|取得最小值，即|PQ|取得最小值2
x020当m?0时，(22?2)m?当m?0时，(?22?2)m? （2）由y?f?x??kx??1?k?x?2 解得m?2?1 2 解得m??2?1
m?2?0(x?0)，得?1?k?x2?2x?m?0 ?*? x第 33 页 共 34 页
当k?1时，方程?*?有一解x??mm，函数y?f?x??kx有一零点x??； 22当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，
若m?0，k?1??2?4?4m(1?k)1，函数y?f?x??kx有两个零点x?， m2(1?k)即x?1?1?m(1?k)?2?4?4m(1?k)1；若m?0，k?1?，函数y?f?x??kx有两个零点x?，
k?1m2(1?k)1?1?m(1?k)1；当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??0， k?1?，
k?1m即x?函数y?f?x??kx有一零点x?1??m k?1m； 2综上，①当k?1时， 函数y?f?x??kx有一零点x??②当k?1?③当k?1?
1?1?m(1?k)11(m?0)，或k?1?（m?0）时，函数y?f?x??kx有两个零点x?；
k?1mm11时，函数y?f?x??kx有一零点x???m. mk?1第 34 页 共 34 页
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