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高考大题纵横练
高考大题纵横练(一)
π
1.已知函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在[0，]上的最大值为2，当把f(x)的图象上的所有点向右平
2π7π
移φ(0<φ<)个单位后，得到图象对应函数g(x)的图象关于直线x＝对称.
26(1)求函数g(x)的解析式；
(2)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知g(x)在y轴右侧的第一个零点为C，若c＝4，求△ABC的面积S的最大值. π
解 (1)由题意知，函数f(x)在区间[0，]上单调递增，
2∴2sin ∴
ωπ
＝2， 2
ωππ
＝2kπ＋，k∈Z， 24
1
得ω＝4k＋，k∈Z.
2
1
经验证当k＝0时满足题意，故求得ω＝，
21φ
∴g(x)＝2sin(x－)，
2217π1π
故×－φ＝kπ＋，k∈Z， 2622ππ∴φ＝－2kπ＋，k∈Z，又0<φ<，
62πxπ
∴φ＝.故g(x)＝2sin(－).
6212xπ
(2)根据题意，得－＝kπ，k∈Z，
212ππ
∴x＝2kπ＋，k∈Z，∴C＝.
66π
又c＝4，得16＝a2＋b2－2abcos ，
6∴a2＋b2＝16＋3ab≥2ab， ∴ab≤32＋163，
11
∴S＝absin C＝ab≤8＋43，
24
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∴S的最大值为8＋43.
2.四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，SB＝SC＝3.
(1)设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB； (2)求证：SA⊥BC；
(3)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值. (1)证明 ∵底面ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD.
∵AB?平面SCD，CD?平面SCD， ∴AB∥平面SCD，
又∵平面SCD与平面SAB的交线为l， ∴l∥AB. (2)证明 连接AC.
∵∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22， 由余弦定理得AC＝2， ∴AC＝AB.
取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC. ∵SB＝SC，∴SG⊥BC，
∵SG∩AG＝G，∴BC⊥平面SAG， ∴BC⊥SA.
(3)解 如图，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，
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则A(2，0，0)，B(0，2，0)，S(0，0，1)，D(2，－22，0). →
∴SD＝(2，－22，0)－(0，0，1)＝(2，－22，－1)， →
SA＝(2，0，0)－(0，0，1)＝(2，0，－1)， →
BA＝(2，0，0)－(0，2，0)＝(2，－2，0). 设平面SAB法向量为n＝(x，y，z)， →?SA＝2x－z＝0，?n·有?
→?BA＝2x－2y＝0，?n·
令x＝1，则y＝1，z＝2，n＝(1，1，2)， →
2－22－2n·SD22→
cos〈n，SD〉＝ ＝＝－.
11→2·11|n|·|SD|∴直线SD与平面SAB所成角的正弦值为
22. 11
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n(n∈N*)，数列{an}满足an＝4log2bn＋3(n∈N*). (1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解 (1)由Sn＝2n2＋n，得a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1. 又a1＝3也适合上式. 所以an＝4n－1，n∈N*，
由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n1，n∈N*. (2)由(1)知anbn＝(4n－1)2n1，n∈N*.
所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)2n1， 所以2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)2n1＋(4n－1)2n，
所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n1)]＝(4n－5)2n＋5. 故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.
4.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概1
率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
2
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比.分数没有增加反而减少
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考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 高考大题纵横练(一)
