湘豫名校 2020 届高三 12 月联考理科数学
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上
填写清楚。 2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分 150 分，考试用时 120 分钟。
一、选择题（本大题共
12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设全集 U
R，集合 A x x2 2x 3 0 ， B
x x 1 ，则 (CU A) B A. x x 1
B. x 1 x 3 C. x x
1
D. x x
3
2.
复数 z i 2019 ( 1 2i ) 的共轭复数为 A. 2 i
B. 2 i
C.
2 i
D.
2 i
2
)
n
3. 若 ( x
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是
x 2
A.
1
B.
1
C. 210
D. 211
2
4. 若 a
(
3)3 ， b log 2 e ， c
elog e 3 ，则有
A. c a b B. a c b
C. c
b a
D. a
b c
5. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为 3 的概率为
1 A.
5
C.
6 B.
25
D.
7 25
8 25 bn 1 bn
6. 数列 an , bn 满足 a1 b1
2 ， an 1 an
2 ， n N * ，则数列 bn 的前 n 项
和为 A. 4 (4
n 1
1)
B. 4 (4
n
1)
C. (4
1
3
n 1
1)
D. ( 4n 1)
1
3 3
3
7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为 5，则框图中①处可填入
A. S
6? 15?
B. S D. S
10 ? 21?
) 个单位长度得到 f ( x) 的图像， 若函数
C. S
8. 将函数 y sin 2x 的图像向右平移(0
2
] 上单调递增， 且 f ( x) 的最大负零点在区间 ( 5 , 3 12
f (x) 在区间 [ 0,
) 上，则 的
12
取值范围是
A. (
, ] 6 4
B. (
C. (
124
,]
D. (
, ) 6 4
,
12 4
)
9. 梅赛德斯—奔驰（ Mercedes—Benz）创立于 1900 年，是世界上最成功的高档汽车品牌
之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆地、水上和空中的机械化。已知该商标由
1
个圆形和 6 个全等的三角形组成（如图），点
O 为圆形， OAB 15 ，若在圆内任
取一点，则此点取值阴影部分的概率为
2 3 3
A.
2 3 3
B.
2
4
6 3 9
C.
6 3 9
D.
2
4
2
n
10. 我们把 Fn 2
1( n
1,2,3 ) 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）。设
an
log 2 (Fn 1) ， n 1,2,3 ， Sn 表 示 数 列 an 的 前 n 项 之 和 ， 则 使 不 等 式
22
23 24
2n 1
63 127
成立的最大正整数 n 的值是
S1S2
A. 5 C. 7 在 11.
S2 S3 S3 S4
Sn Sn 1
B. 6 D. 8
中， E, F 分别是 AB, AC 上的点，且满足 AE 2EB ，AF
2FC ， 为
ABC
P EF
上的任意一点，实数 x, y 满足 PA
xPB y PC
Si
0，设 ABC、
i (i 1,2,3) ，则 2,
PBC 、 PCA 、
3 取到最大值时，
PAB 的面积分别为 S 、 S1 、 S2 、 S3 ，记
x, y 的值分别为
A. 0,2
S
B.1,2
C. 1,1
D. 2,1
12. 设 f (x) 是 定 义 在 R上的函数
f (x)
的导数， 函 数
f ( x) 满 足
，且方程
f (x)
1
f ( x)e2 x 2
x2 2 f (0) x ， 若
g( x)
f ( x) x2 2x
2
g( x2
a
A. ( C. (0,1)
x) x 0 有两个不同的实数解，则实数
a 的取值范围是
,0) 1
B. ( ,0)
(1, )
D. (1, )
二、 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 已知 f ( x)
log2 x 3, x 0
是奇函数，则
f (g (
2)) __________.
g(x), x 0
14. 已知函数 f ( x)
sin( x 1) a ，若 f (0)
2
2 ) f ( 1 ) f (
2020 2020
f ( 2019 )
2020
f (1) 2021 则实数 a __________.
x2
2
15. 已知双曲线 C :
y2
2
1(a b 0) 的左、右焦点分别为
F1 , F2 ，过 F1 的直线 l 与圆
a
y 2
b
x2 a2 相切于点 T ，且直线 l 与双曲线 C 的右支交于点 P ，若 F1P 3F1T ，则
双曲线 C 的离心率为 __________.
16. 正方体 ABCD
A1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体的表面上与点 A 的距离是
5
的点形
2
成一条曲线，这条曲线的长度是
__________.（参考数据 cos37
4 ） 5
三、 解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分 12 分）
在
2
ABC 中 ，
2
角
A, B,C 所 对 的 边 分 别 为
2
a, b,c ，
且
s i An s i Cn s iA sn Ci n s i Bn.
（ 1）求角 B 的大小；
（ 2）若
ABC 为锐角三角形， 其外接圆的半径为
53
，求
ABC 的周长的取值范围。
3
18. （本小题满分 12 分）
在 Rt AOB 中， OAB
，斜边 AB 4 ，Rt AOC 可以通过 Rt AOB 以直线 AO
6
为轴旋转得到，且二面角
B AO C 为120
，点 D 满足 ADDB.
1 2
（ 1）求证：平面 BOC 平面 AOB ；
（ 2）求直线 CD 与平面 AOB 所成角的正弦值。
19. （本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C :
x2
y2 1(t 0) 的左、右顶点分别为
A,B ，
4t 2 3t 2
0) 的直线交椭圆 C 于另一点 P.
右焦点为 F ，过点 A 且斜率为 k (k （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）若 t
1，设直线 l : x 2 ，延长 AP 交直线 l 于点 Q ，线段 BQ 的中点为 E ，求
PF 上。
证：点 B 关于直线 EF 的对称点在直线
20. （本小题满分 12 分）
2019 年春节期间，当红影视明星翟天临“不知‘知网’”学术不端事件在全国闹得沸 沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院乃至整个中国学术界高等教育乱 象的反思，为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的
2019 年部门预
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