《数值分析》课程实验报告
用拉格朗日和牛顿插值法求解函数值
算法名称 用拉格朗日和牛顿插值法求函数值
学科专业 xxxxx
作者姓名 xxxx
作者学号 xxxxx
作者班级 xxxxxx
xxx大学
二〇一五年十二月
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《数值分析》课程实验报告
实验名称 用拉格朗日和牛顿插值法求解函数值 成绩 一、问题背景 在工程技术与科学研究中，常遇到考察两个变量间的相互关系问题。两个变量间的关系可以通过函数表示，若x为自变量，y为因变量，则函数关系可描述为y=f(x)。大多数问题中，函数表达式y=f(x)未知，人们通常采用逼近的方法处理：取得一组数据点（xi,yi）（i=0,1,2,…,n）,数据点可由不同方式取得（例如，可根据工程设计要求得到，也可通过采样或实验取得），然后构造一个简单函数P（x）作为y=f(x)的近似表达式，即y=f(x)≈P(x),对于y=f(x)≈P(x)，若满足P(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,2…,n,这类问题成为插值问题。 二、数学模型 1.函数f(x)=lnx的一些数值如表： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 lnx 0.3365 0.4055 0.4700 0.5306 0.5878 用拉格朗日插值法计算ln1.54的近似值。 2.函数f(x)=x的一些数值如表： x 0.4 0.6325 0.5 0.7071 0.6 0.7746 0.7 0.8367 0.8 0.8944 用牛顿插值法计算√0.54的近似值，画出插值函数与原函数的图形做比较。 三、算法描述 1.拉格朗日插值法：设已知超过n次多项式且满足其中，x x0，x1，x2，...,xn及yi=f(xi)(i=0,1,.....,n),Ln(x)为不. Ln(xi)?yi（i=0,1,...n）.易知Ln(x)l0=（x）y0+....+ln(x)ynli(x)均为n次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n）,再由xj（j?i）为n次多项式li(x)的n个根知nli(x)?x?x=cj?0i?inj.最后，由 1li(xj)?c?(xi?xj)?1?j?0j?i?(x?x)ijnc=j?0j?i,i=0,1,...,n. .
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总之，Ln(x)=?li(x)yii?0n，li(x)?x?x.=j?0j?iijnx?xj式为n阶Lagrange插值公式，其中，li(x)（i=0,1,...n）称为n阶Lagrange插值的基函数。 2.牛顿插值法： 插值法是利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)。 四、主要代码 1.拉格朗日插值 建立函数文件： function [yt,L]=LagInterpl(x,y,xt) syms t; n=length(x); ny=length(y); if n~=ny error end L=0.0; for k=1:n lk=1; for j=1:n if j~=k lk=lk*(t-x(j))/(x(k)-x(j)); end end; L=L+y(k)*lk; end simplify(L); L=collect(L); yt=subs(L,'t',xt); 2.牛顿插值 建立函数文件： function [yt,N]=NewtInterp(x,y,xt) syms t; n=length(x); ny=length(y); if n~=ny error .
数值分析课程实验报告-拉格朗日和牛顿插值法
