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习题5 5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为 m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮， 绳的两端 分别挂着质量为 2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定 滑轮的转动惯量均，将由两个定滑轮以及质量
mr 2 /2 为 2m和m的重物组成 为
的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张 力。
解：受力分析如图，可建立方程：
2mg T2 2ma┄①
┄②ma T1 mg
(T2 T)r J ┄③ (T
T1)r
。
T
J ┄④ 2
a r，J mr /2┄⑤
1 11 联立，解
a g ，T mg 得：
4 8
5-2．如图所示，一均匀细杆长为 l，质量为m，平放在摩擦系数为 上，设开始时杆以角速度
0
的水平桌面
绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求： （1）作
0 Jd， 0
用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。
m 解：（1）设杆的线密度 为： ，在杆上取
l
一小质元dm dx，有微元摩擦力： gdx，
gxdx， 微元摩擦力矩： dM
考虑对称性，有摩擦力
矩：
l
1
2M2 gxdx mgl；
0
4
t
d
J d，有： Mdt （2）根据转动定律 M J
t 0 df
dmg
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1
mglt 4
或利用：
1 2 m l 12 0
0，∴t 。 3 g
0，J
l
2
M t J J 0，考虑到
0 l
有：t 。
3 g 1 ml ，
12
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5-3．如图所示，一个质量m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质为 量 可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。 假设定滑轮质量为 M、半径为
2 ,其转动惯量
R MR /2 为 ，试求该物体由静止开始下落的过程中，
下落速度与时间的关系。
解：受力分析如图，可建立方程： mg T
ma┄①
TR
J ┄②
a R ，J
1 mR2
┄③
2 2mg Mmg
联立，解得：a ，T ， M 2m M 2m
dv v t 2mg
2mgt
考虑到a ，∴ dv
dt，有：v 。 dt 0 0M 2m
M
2m
5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为 M /4，均匀分布在其边缘上，
绳子A端有一质量为 M的人抓住了绳端，而 在绳的另一
端
B系了一质量为 M/4的重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量 J MR 2
/4 ，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬
时，绳与滑轮间无相对滑动，求 B端重物上升的加速度？ 解一：
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 Mg
T1MaA 人
M M T2 g aB 物 4 4 T1R
T2R
J 滑轮
2
由约束方程: aA aB R 和 J MR /4,解上述方程组 得到a
g
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解二：
选人、滑轮与重物为系统，设 u为人相对绳的速度， v为重
. 2
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，系统对轴的角动量物上升的速度，注意到u为匀速， 0 为： dt
du
1 L
4
M 2
MvRM(uv)R(R)
4 (人)
( A物体)
3
MvRMuR 2
(B物体)
1
而力矩为： M MgRMgR 4
dL 有根据角动量定理M ： dt
MgR，
4 3 d 3 MgR ( MvR 4 dt 2
3
g
MuR)，∴a。
2
5-5．计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。
3m 解：设球的半径为 R，总重量为m，体密度 ，
3 4 R 考虑均质球体内一个微2dm r sin drdd ， 元：
由定义：考虑微元到轴的距离
rsin 为 J
J 2
(rsin )2dm，有： 2 R
(rsi22
) rsin drd d n
0 0 0
1 5R 2 2 2
(1 cos )dcos] mR 。 r 0[
0 5 5
5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲
度系数k 40N/m，当 0时弹簧无形变，细棒的质量
的位置上细棒至少应具有多大的角速，求在5.0kg m 0 度
，才能转动到水平位置？ 解：以图示下方的三角桩为轴，从
考虑机械能守恒，那么：
0 时的机械能为：
0~
90时，
0
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大学物理刚体力学基础习题思考题及答案
