2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
???????课前预习 · 预习案???????
温馨寄语 1
人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！——奥斯特洛夫斯基
学习目标
1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.
2．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释.
3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
学习重点
1．根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征
2．体会样本数字特征具有随机性
学习难点
1．用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差 2．能应用相关知识解决简单的实际问题
自主学习
1．众数、中位数、平均数
(1)众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这一组数据的众数.
(2)中位数：将一组数据按 依次排列，把处在 位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：假设样本数据是x1，x2，2．方差、标准差 假设样本数据是x1，x2，x3，
，xn，是平均数，则
，xn，表示这组数据的平均数，则= (1)方差是s2= . (2)标准差为s= . 预习评价
1．已知一组数据为20,30,40,50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是
A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数
2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为12,15,20,x,23,28,30，50，其中，中位数为22，则x=
A.21 B.15 C.22 D.35
3．设x1=4，x2=5，x3=6，则该样本的标准差为 .
???????知识拓展 · 探究案???????
合作探究
1．众数、中位数、平均数的应用 通过频率分布直方图可以看出众数在哪个区域内？
2．众数、中位数、平均数的应用 如何从频率分布直方图中估计中位数呢？ 3．众数、中位数、平均数的应用 如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值？
4．标准差与方差 标准差，方差的取值范围是什么？标准差、方差为0的样本数据有什么特点？
5．标准差与方差 标准差的大小对数据的离散程度有何影响？
教师点拨
1．对众数、中位数、平均数的三点说明
(1)众数通常用来表示样本数据的最大集中点，容易计算.但是它只能表达样本数据中很少的一部分信息，因为它忽视了其他数据信息.
(2)中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算，它仅利用了中间数据的信息.
(3)平均数受样本中的每一个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响也越大. 2．方差的三点运算性质
假设一组数据x1，x2，(1)新数据x1+b，x2+b，(2)新数据ax1，ax2，
，xn的平均数为`x，方差为S，则 ，xn+b的平均数为
2
，方差仍为S
2
，axn的平均数为.方差为 ，方差为
(3)新数据ax1+b，ax2+b，3．数字特征的选择
，axn+b的平均数为
当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，此时需要一个新的统计量标准差(方差)刻画样本数据的离散程度.在实际应用中，常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题做出决策.
交流展示——众数、中位数、平均数的应用
高一(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理测试中，男生的平均分是82分，中位数是75分，女生的平均分是80分，中位数是80分. (1)求这次测试全班平均分(精确到0.0l).
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的学生至少有多少人？ (3)分析男生的平均分与中位数相差较大说明了什么？
变式训练
某中学高二(2)班甲、乙两名同学上高中以来的每次数学考试成绩情况如下： 甲的得分：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107； 乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较，说明甲、乙两人谁发挥比较稳定.
交流展示——标准差、方差的应用
2．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如下：
甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8； 乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1； (1)用茎叶图表示甲，乙两个成绩； (2)根据茎叶图分析甲、乙两人成绩；
(3)分别计算两个样本的平均数x和标准差s，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定.
3．甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km2): 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 ?甲 乙 9.8 9.4 9.9 10.3 10.1 10.8 10 9.7 10.2 9.8 其中产量比较稳定的冬小麦品种是哪种？
变式训练
甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm).
甲机床：10.2 10.1 10.0 9.8 9.9 10.3 9.7 10.0 9.9 10.1； 乙机床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10.0.
分别计算上面两个样本的平均数和方差.若图纸规定零件的尺寸为10mm，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？
交流展示——由频率分布表或直方图求数字特征
为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？
(3)通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是______，中位数是_______.
变式训练
某中学团委组织了“我对祖国知多少”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六组[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，其部分频率分布直方图如图所示.观察图形，回答下列问题.
(1)求成绩在[70，80)的频率，并补全这个频率分布直方图.
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)
学习小结
1．中位数的求法
(l)当数据个数为奇数时，中位数是按大小顺序排列的中间那个数.
(2)当数据个数为偶数时，中位数为按大小顺序排列的最中间的两个数的平均数. 2．数据特征的分析
如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之说明数据中存在许多较小的极端值，在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息.所以，应当深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用. 3．标准差的性质
(l)全组数据每一数据都加上一个相同的常数后计算得到的标准差不变.
(2)若每一数据值都乘以一个相同的非零常数，则所得到的标准差等于原标准差乘以这个常数的绝对值.
(3)每个数据值都乘以同一个非零常数，再加上另一常数，所得数据的标准差等于原标准差乘以这个常数的绝对值. 4．计算标准差的五个步骤 第一步：算出样本数据的平均数；
第二步：算出每个样本数据与样本平均数的差；
第三步：算出；
第四步：算出
2
这n个数的平均数，即为样本方差S；
第五步：算出方差的算术平方根，即为样本标准差. 5．利用频率分布直方图求数字特征的方法 (1)众数是最高的矩形的底边的中点的横坐标. (2)中位数左右两侧直方图的面积相等.
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征高品质版
