热点专项练(四) 解直角三角形应用
类型一 测宽 1.
(2024·青海)如图,同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度.小宇同学在A处观测对岸点C,测得∠CAD=45°,小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD=30°,请根据这些数据算出河宽(精确到0.01米,
≈1.414,
≈1.732).
解过C作CE⊥AB于E,设CE=x米.
Rt△AEC中,∠CAE=45°,AE=CE=x. 在Rt△BEC中,∠CBE=30°,BE=CE=x.
∴x=x+60.解得x=30+30≈81.96米.
答:河宽为81.96米. 类型二 测高 2.
(2024·云南昆明)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长.(结果保留小数点后一位) (参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,解如图,连接CB,过点A作AE⊥BD于E,
≈1.73)
在Rt△AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,
∴AE=ABcos30°=10×=5∵BC=6.5m,
(m),BE=ABsin30°=10×=5(m).
∴CE=BC-BE=6.5-5=1.5(m),
在Rt△ADE中,
∵∠EAD=42°,AE=5∴DE=AE·tan42°=5
1.5=6.285≈6.3(m). 类型三 航行类 3.
,
×0.9≈5×1.73×0.9=7.785(m),∴CD=DE-CE≈7.785-
(2024·四川眉山)知识改变世界,科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图,某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动,车到达A地后,发现C地恰好在A地的正北方向,且距离A地13千米,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地,再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地,求B、C两地的距离.参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈
解过B作BD⊥AC,垂足为D,
设AD=x,在Rt△ABD中,tanA=,
即
,∴BD=x.
在Rt△BCD中,tan∠
CBD=,
即
,∴CD=+x=13, -3.∴BD=12-3
,
解方程得:x=4
在Rt△BCD中,cos∠
CBD=,
即:
,∴BC=20-5
.
千米.
答:B、C两地的距离为20-5类型四 坡度、坡角类
4.(2024·湖南邵阳)某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.
如图所示,已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m,坡角∠ABD为30°;改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27)
解由题意可知,在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10m,∴AD=AB=5m.
在Rt△ACD中,sin∠
ACD=.
因为∠ACD=15°,AD=5m, 所以sin15°==0.26. 解得AC≈19.2m. 答:AC的长度约为19.2m.
(课标通用)2024年中考数学总复习热点专项练习4--解直角三角形应用(含答案)
