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平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第10讲--策略性博弈与纳什均衡)

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平新乔《微观经济学十八讲》第10讲 策略性博弈与纳什均衡

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1.假设厂商A与厂商B的平均成本与边际成本都是常数,MCA?10,MCB?8,对厂商产出的需求函数是

QD?500?20p

(1)如果厂商进行Bertrand竞争,在纳什均衡下的市场价格是多少? (2)每个厂商的利润分别为多少? (3)这个均衡是帕累托有效吗? 解:(1)如果厂商进行Bertrand竞争,纳什均衡下的市场价格是pB?10??,pA?10,其中?是一个极小的正数。理由如下:

假设均衡时厂商A和B对产品的定价分别为pA和pB,那么必有pA?10,pB?8,即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。其次,达到均衡时,pA和pB都不会严格大于10。否则,价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低,它就可以获得整个市场,从而提高自己的利润。所以均衡价格一定满足pA?10,pB?10。但是由于pA的下限也是10,所以均衡时pA?10。给定pA?10,厂商B的最优选择是令pB?10??,这里?是一个介于0到2之间的正数,这时厂商B可以获得整个市场的消费者。综上可知,均衡时的价格为pA?10,pB?10??。

(2)由于厂商A的价格严格高于厂商B的价格,所以厂商A的销售量为零,从而利润也是零。下面来确定厂商B的销售量,此时厂商B是市场上的垄断者,它的利润最大化问题为:

maxpq?cq ①

??0其中p?10??,q?500?20??10???,把这两个式子代入①式中,得到:

max?10???8???500?20?10?????

??0解得??0,由于?必须严格大于零,这就意味着?可以取一个任意小的正数,所以厂商B的利润为:??500?20??10??????10???。

(3)这个结果不是帕累托有效的。因为厂商B的产品的价格高于它的边际成本,所以

如果厂商B和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10??之间的价格,那么厂商B的利润和消费者的剩余就都可以得到提高,同时又不损害厂商A的剩余(因为A的利润还是零)。

2.(单项选择)在下面的支付矩阵(表10-1)中,第一个数表示A的支付水平,第二个数表示B的支付水平,a、b、c、d是正的常数。如果A选择“下”而B选择“右”,那么:

表10-1 博弈的支付矩阵

(1)b?1且d?1 (2)c?1且b?1 (3)b?1且c?d (4)b?c且d?1 (5)a?1且b?d 【答案】(3)

【分析】由于(下,右)是均衡策略,所以给定B选择“右”,“下”是A的最优选择,这就意味着c?d;同样的,给定A选择“下”,“右”也是B的最优选择,这就意味着b?1。

3.史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同,约翰支付给斯密3美元。如果数字不同,斯密支付给约翰1美元。

(1)描述这个对策的报酬矩阵,并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。

1(2)如果每一个局中人以的概率选择每一个数字,证明这个对策的混合策略确实有

3一纳什均衡。这个对策的值是什么?

解:(1)根据题意,构造如下的支付矩阵(表10-2)(其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付,后一个数字是约翰的支付):

表10-2 玩数字匹配游戏的支付矩阵

首先由史密斯来选择,假设史密斯选择1,并期望约翰选择1,从而使自己得到3的支付。但是,如果史密斯选择1,则约翰一定会选择2或者3,从而使自己得到1,而不是-3。假设约翰选择2,他期望史密斯选择1或者3,以使得自己得到1,而实际上史密斯会选择2,使得约翰得到-3,等等。不断的循环反复,最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。因此,这个对策没有一个纯策略纳什均衡。

(2)假设均衡时,约翰选择1、2、3的概率分别为x1、x2和1?x1?x2,那么此时史密斯在选择1、2、3之间是没有区别的,即:

3x1?x2??1?x1?x2???x1?3x2??1?x1?x2???x1?x2?3?1?x1?x2?

从而解得

x1?x2?1?x1?x2?1 3类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。

4.假定世界上氪的整个供给由20个人控制,每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。世界对氪的需求是

Q?1000?1000p

其中p是每克的价格。

(1)如果所有拥有者合谋控制氪的价格,他们设置的价格是多少?他们能够卖出的量是多少?

(2)为什么(1)中计算的价格是不稳定的?

(3)通过改变要求保持市场价格的产出,在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时,氪的价格是多少?

解:(1)所有拥有者合谋控制氪的价格,此时总的利润函数为:

1?????1?Q?Q

?1000?利润最大化的一阶条件为:

d?1?1?Q?0 dQ500解得总供应量为Q?500(克)。此时p?1?。 500/20?25(克)

(2)对第一个厂商而言,给定其他每个厂商的供应量为25克,那么他的利润最大化问

题为:

maxq11Q?0.5,每个厂商的供应量为1000525?q1q1 1000根据一阶条件解得:

q1?262.5

可见在其他厂商的供应量为25克的条件下,厂商1增加供应量会提高自己的利润。类似的结论对市场上的其他厂商也成立,所以合谋是不稳定的。

(3)题目要求完全竞争市场的均衡结果。令p?MC,得到氪的价格为零。市场上的总供给量为1000克,每个成员的出售量为50克。

5.在下表所示的策略型博弈(表10-3)中,找出占优均衡。

表10-3 博弈的支付矩阵

答:对于行为人2而言,R优于M,所以行为人2将会剔除掉M策略,只在R、L这两个策略中进行选择;对于行为人1来说,知道了行为人2会在L、R策略中选择,则U占优于M和D策略。当行为人2知道行为人1选择了U策略时,他则最终会选择L策略。所以,最终的占优均衡为(U,L)。

6.模型化下述划拳博弈:两个老朋友在一起划拳喝酒,每个人有四个纯策略:杆子、

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