一、知识梳理 知识点1、轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于 对称，也称这两个图形成 ，这条直线叫做 ，两个图形中的对应点叫做 ． 知识点2、轴对称图形
定义： ，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 知识点3、线段的垂直平分线(重点)
1. 定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的 ，也叫中垂线。 2. 线段的垂直平分线必须满足两个条件：① ； ② ． 3. 轴对称的性质
（1） 关于某条直线成轴对称的两个图形全等． （2） 对称轴是对应点所连线段的垂直平分线． 知识点4、 成轴对称的图形的画法
画一个图形关于某条直线对称的图形，其步骤为：①首先要确定哪条直线是对称轴；②然后在已知图形中找特殊点，过此点作对称轴的垂线段并延长一倍，即得到对称点；③顺次连接对称点。 知识点5、线段的轴对称性(重点、难点)
线段是轴对称图形，它的对称轴有 条，分别是 ． 线段垂直平分线的性质： ． 线段垂直平分线的判定： ． 知识点6、线段的垂直平分线的作法(重点) 用尺规作线段AB的垂直平分线的方法：
1．分别以A、B为圆心， 为半径画弧，两弧相交于点C、D． 2．过C、D两点作直线．直线CD就是线段AB的垂直平分线．画图，理由如下： 知识点7、角的轴对称性(重点、难点)
角是轴对称图形，它的对称轴有 条，对称轴是 ． 角平分线的性质： ． 角平分线的判定： ．
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知识点8、角的平分线的作法 用尺规作∠AOB 的平分线的方法：
1．以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB 于点D、E．
2．分别以D、E两点为圆心， 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C． 3．画射线OC．则射线OC就是∠AOB的平分线，画图如下：
注：“距离”指垂直到直线的线段长度。
知识点9、等腰三角形的性质及判定(重点、难点)
1．等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴， 是它的对称轴． 2．等腰三角形的性质定理： （简称“等边对等角” ) ． 3．等腰三角形的 互相重合（简称“三线合一”）． 4．如果一个三角形中有两个角相等，那么 （简称“等角对等边”) ． 知识点10、等边三角形的性质及判定(难点)
1．定义： 叫做等边三角形，等边三角形也称为正三角形． 2．等边三角形的性质
( 1 ）等边三角形是轴对称图形，且有 对称轴．
( 2 ）等边三角形的三个内角 ，并且每一个角都等于 ． 3．等边三角形的判定
（ l ） 的三角形是等边三角形． ( 2 ） 的三角形是等边三角形． ( 3 ） 的等腰三角形是等边三角形． 知识点11、直角三角形斜边上的中线的性质定理(重点) 1．直角三角形斜边上的 ．
2．如果在直角三角形中有一个锐角为 30°，那么 ．
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二、【典型例题】
类型一、线段、角的轴对称性
1、如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点．
2、小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．
举一反三：
【变式1】 如图，A、B是直线L同侧的两定点，定长线段PQ在L上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？(画出图形，不要说明理由)
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【变式2】如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP是△ABC的外角平分线．
类型二、等腰三角形的轴对称性及应用
3、如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D， 交AC与点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由； （2）若BD=4、CE=3，求DE的长； （3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？
4、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE． 求证：AC-AB=2BE．
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举一反三：
【变式3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：∠ADE=∠AED．
【变式4】 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，E是底边BC的延长线上的一点，且CD=CE.
（1）求证：△BDE是等腰三角形. （2）若 ∠A=36°，求∠ADE的度数.
类型三、等边三角形的轴对称性和应用
5、如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD． 说明：△ADE是等边三角形．
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八年级第二章轴对称复习及拓展
