圆锥摆模型全透视
一、圆锥摆模型：
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力F。两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力Fn，如图示。
二、常规讨论：
1． 向心力和向心加速度：
设摆球的质量为m，摆线长为l，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度为v，角速度为?，周期为T，频率为f。
θ h Fn ，
mg F Fn?manv22?mgtan??m?m?2lsin??m()2lsin??m(2?f)2lsin?lsin?Tv22?an?gtan????2lsin??()2lsin??(2?f)2lsin?
lsin?T2． 摆线的拉力：
有两种基本思路：当θ角已知时F?mg/cos?，
，当θ角未知时
F?Fn/sin??m?2l?m(3． 周期的计算：
2?2)l?m(2?f)2l T设悬点到圆周运动圆心的距离为h，根据向心力公式有T?2?同的圆锥摆，周期相同，与m,l,?无关。
lcos?h，由此可知高度相?2?gg4．动态分析：当角速度?增大时，根据mgtan??m?Rsin?有cos??向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：
2g?R2，?增大，?增大，
例1：将一个半径为R的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度?做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。若角速度?增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？
FN θ Fn mg 解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
mgtan??m?2Rsin?，故cos??g?2R，圆周平面距碗底的高度为h?R?Rcos??R?g?2。若角
速度?增大，则有θ增大，高度h变大，回旋半径变大，向心力变大。
点评：本题形式上不属于圆锥摆模型，但实质即为圆锥摆模型。
例2：一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度?做匀速转动，在圆锥筒内壁的A处有一质量为m的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图，当圆锥筒的角速度增大时，则小球到锥底的高度，回旋半径，向心力分别如何变化？
解析：小球受两个力mg、FN，mgcot??m?r，角速度增大时，由于角度不变，故向心力不变，回旋半径r减小，小球到锥底的高度降低。
点评：本题区别于例1，不属于圆锥摆模型。圆锥摆模型是当角速度发生变化时，圆锥摆顶点保持不变，即摆长不变。本题动态分析的结论和例1相反。
例3：一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为60，，如图所示，一条长为L的轻绳，一端固定在锥顶O点，另一端拴一质量为m的小球，小球的速率v绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：（1）当
L m O 600 0
FN θ θ A mg 2v?1gL，绳上的拉力多大？（2）当v?63gL，绳上的拉力多大？ 20v2解析：当圆锥体刚好对斜面没有压力时，mgtan30?m，求得
Lsin300F 小球的线速度为v0?3（1）当v?gL。
61gL?v0小球不做圆锥摆运动，小球受三6，在水
FN mg 00个力，如图示，用正交分解法解题，在竖直方向Fcos30?FNsin30?mgv2平方向Fsin30?FNcos30?m，解得F?1.033mg。（2）当v?0Lsin30003gL?v0，小球做圆2v20锥摆运动，且??30，设此时绳与竖直方向的夹角为?，则有mgtan??m，解得??60，因
Lsin?0此F?mg?2mg。 0cos60点评：本题要先判断究竟物体是否属于圆锥摆模型。判断时，先根据临界问题，当圆锥体刚好对斜面没有压力时，求得小球的线速度为v0。当v?v0时，小球做圆锥摆运动， v?v0时，小球不做圆锥摆运动。
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