第1章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合
[最新考纲] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
必备知识填充
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和?表示． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N(或N＋) *整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 符号语言 Venn图 子集 A?B或(B?A) 真子集 AB或BA 集合 集合A，B中的元素相同或集合A，相等 B互为子集 3．集合的基本运算 运算 交集 自然语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A＝B 符号语言 Venn图 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ?UA＝{x|x∈U且x?A} [常用结论] 1．集合子集的个数
对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2，真子集个数为2－1，非空真子集个数为2－2. 2．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. (3)补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；
?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩ (?UB)．
自我检测
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x}＝{y|y＝x}＝{(x，y)|y＝x}．( ) (3)若{x1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )
(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编
1．若集合A＝{x∈N|x≤22}，a＝2，则下列结论正确的是( ) A．{a}?A C．{a}∈A
B．a?A D．a?A
2,
2
2
2
nnnD [由题意知A＝{0,1,2}，由a＝2，知a?A.]
2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________． 64 [∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}， ∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M∪N的子集有2＝64个．]
3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则?U(A∪B)＝________.
[答案] {x|x是直角}
??x＋y＝1，
4．方程组?
??2x－y＝1
6
的解集为________．
???21???x＋y＝1，
??，?? [由???33????2x－y＝1，
2
x＝，??3得?1
y＝??3，
??21??
故方程组的解集为??，??.]
??33??
5．已知集合A＝{x|x－x－6＜0}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
(－2,1) (－∞，3) [∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]
课堂考点探究
考点1 集合的概念
与集合中的元素有关的问题的求解思路
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中
元素的个数为( )
2
A．9 C．5
2
2
B．8 D．4
A [由x＋y≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，
1
y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为C13C3＝9，故选A.]
2．已知集合A＝{m＋2,2m＋m}，若3∈A，则m的值为________． 32
－ [由题意得m＋2＝3或2m＋m＝3， 23
则m＝1或m＝－.
2
当m＝1时，m＋2＝3且2m＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 312
当m＝－时，m＋2＝，而2m＋m＝3，符合题意，
22
2
2
3
故m＝－.]
2
3．若集合A＝{x∈R|ax－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________. 992
0或 [当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)－8a＝0，即a＝.]
88
22 0202 020
4．已知a，b∈R，若?a，，1?＝{a，a＋b,0}，则a＋b＝________.
2
??
ba??
1 [由已知得a≠0，则＝0，
所以b＝0，于是a＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 0202
ba＋b2 020
＝(－1)
2 020
＋0
2 020
＝1.]
(1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T2，T4.(2)常用分
类讨论的思想方法求解集合问题，如T3.
考点2 集合的基本关系
判断两集合关系的方法
(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．
(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．
(1)(2019·沈阳模拟)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．AB C．A?B
2
B．BA D．B＝A
(2)已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________．
(1)B (2)D (3)(－∞，3] [(1)由题意知A＝{x|y＝1－x，x∈R}， 所以A＝{x|－1≤x≤1}．
所以B＝{x|x＝m，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 所以BA，故选B.
(2)因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A?C?B，则集合C可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．
(3)因为B?A，
2
2
所以①若B＝?，则2m－1＜m＋1，此时m＜2. 2m－1≥m＋1，??
②若B≠?，则?m＋1≥－2，
??2m－1≤5.
解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．] [母题探究]
1．(变问法)本例(3)中，若BA，求m的取值范围． [解] 因为BA，
①若B＝?，成立，此时m＜2. 2m－1≥m＋1，??
②若B≠?，则?m＋1≥－2，
??2m－1≤5，
且边界点不能同时取得，解得2≤m≤3.
综合①②，m的取值范围为(－∞，3]．
2．(变问法)本例(3)中，若A?B，求m的取值范围．
??m＋1≤－2，
[解] 若A?B，则?
??2m－1≥5，
即?
??m≤－3，??m≥3.
所以m的取值范围为?.
3．(变条件)若将本例(3)中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，试求m的取值范围． [解] 因为B?A，
所以①当B＝?时，2m－1＜m＋1，即m＜2，符合题意． ②当B≠?时，?
?m＋1≤2m－1，?
??m＋1＞5
?m＋1≤2m－1，?
或???2m－1＜－2，
??m≥2，
解得?
?m＞4?
m≥2，??
或?1
m＜－，?2?
即m＞4.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间
的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B?A时，应分B＝?和B≠?两种情况讨论．
1.设M为非空的数集，M?{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样
的集合M共有( )
A．6个 C．4个
B．5个 D．3个
A [由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．]
2．若集合A＝{1,2}，B＝{x|x＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，则实数m的取值范围为
2
2021届高考数学（理）一轮复习学案：第1章集合与常用逻辑用语第1节集合
