《高级宏观经济学》考研罗默版2021考研真题与习
题
1.10 假定与习题1.9类似，资本和劳动按照边际产出支付报酬。此外，假设所有资本收入用于储蓄，而所有劳动收入均用于消费。因此（a）证明该经济收敛于平衡增长路径。
（b）在平衡增长路径上，k大于、小于还是等于k的黄金律水平？这一结论的直观含义是什么？
解：（a）证明：由k＝K/AL，对其两边关于时间求导，可得：
。
（1）
将，和代入方程（1），可得：
（2）
将
代入方程（2），可得：
（3）
当时，每单位有效劳动保持不变。即[f＇（k）－（n＋g＋δ）]＝0，因此平
衡增长路径上的每单位有效劳动的资本可以由[f＇（k）－（n＋g＋δ）]＝0潜在地决定。
k＝K/AL，由于在平衡增长路径上k保持不变，因此，K必须与AL保持同样的增长速度。AL的增长速度为n＋g，所以K的增长速度为n＋g。由于生产函数是规模报酬不变的，因此，在平衡增长路径上每单位有效劳动的产出增长速度也必须是n＋g。
综上所述，可以发现所有变量增长速度均不变。 下面证明经济收敛于平衡增长路径。
在k＝k*时，f＇（k）－（n＋g＋δ）＝0，此时经济处于平衡增长路径上。如果k
＞k*，由于f＂（k）＜0，所以k＜k*，则
，则经济向下偏离平衡增长路径；反之，如果
，经济向上偏离平衡增长路径。所以，不管初始的k如何，经济都
将收敛于平衡增长路径，此时，所有的经济变量都以不变的速率增长。
（b）满足黄金规则的资本水平是指使每单位有效劳动的消费最大时的资本水平，即f＇（kGR）＝（n＋g＋δ）。此刻满足生产函数的斜率等于持平投资线的斜率。而这正是经济收敛到均衡增长路径时k的水平，这时所有的资本收入被储蓄，所有的劳动收入被消费。
在本模型中，将资本的贡献（资本的边际产品乘以资本的数量）储蓄起来。如果资本的贡献超过持平投资，即kf＇（k）＞（n＋g＋δ）k，则k上升；反之，如果kf＇（k）＜（n＋g＋δ）k，则k下降。因此，经济收敛于kf＇（k）＝（n＋g＋δ）k，或者f＇（k）＝（n＋g＋δ）这一点上，此刻经济收敛于平衡增长路径。
1.11 仿照方程（1.28）～（1.31）的步骤，计算出在平衡增长路径附近y向y*收敛的速度。[提示：由y＝f（k）可得k＝g（y），其中
。]
（1.28） （1.29）
（1.30）
（1.31）
解：首先，由y＝f（k）求反函数可得，k＝f－1（y），令k＝g（y）＝f－1（y），即k可以表示成y的函数；又由于在索洛模型中，是由k的值所决定的，因而可以表示为k的函数，从而可以表示为y的函数，即有：
。特别地，当k
＝k*时，。
函数在处的一阶泰勒展式为：
（1）
令，则上式可以简化为：
（2）
方程（2）表明，在平衡增长路径附近，y移向y*的速度几乎与y和y*之间的距离成比例。也就是说，y（t）－y*的增长率近似于一个固定的常数－λ，这意味着
（3）
其中，y（0）是y的初始值。
其次，确定λ的值。对生产函数y＝f（k）两端关于时间t求导数可得：
（4）
而教材中资本积累的方程为：
（5）
由方程（4）和（5）可得：
（6）
方程（6）两端对k求导可得：
（7）
在平衡增长路径上，sf（k*）＝（n＋g＋δ）k*，因而方程（7）可以表示为：
（8）
由于k＝g（y），其中
，从而有：
（9）
由方程（8）和（9）可得：
综上可得：
（10）
因为在平衡增长路径上，s＝（n＋g＋δ）k*/f（k*），从而方程（10）可以表示为：
（11）
又由于αK＝kf＇（k）/f（k），所以方程（11）可以简化为：
综上所述，在平衡增长路径附近，y以近似于 [1－αK（k*）]（n＋g＋δ）的不变速度收敛于平衡增长路径值。
1.12 物化的技术进步。[来自索洛（Solow，1960）和萨托（Sato，1966）。]有关技术进步的一种看法是，资本品在时刻t的生产力依赖于时刻t的技术水平，而与此后的技术进步无关，这就是物化的技术进步（技术进步必须物化为新的资本才能增加产出）。本题旨在探讨物化技术进步的影响。
（a）首先，我们修改基本的索洛模型，假定技术进步为资本增强型而不是劳动增强型。为了保证平衡增长路径的存在，假设生产函数为柯布—道格拉斯函数：Y（t）
＝[A（t）K（t）]αL（t）1－α，A的增长率为
。
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