学业分层测评(十四) 瞬时变化率—导数
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1.若f′(x0)＝1，则当k→0时，【解析】 由题意，当k→0时，所以
fx0－k－fx0
趋于常数________.
2kfx0－k－fx0
→1，
－kfx0－k－fx01fx0－k－fx01
＝－·→－.
2k2－k2
1
【答案】 －
2
2.已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线x－y＋2＝0平行，则f′(2)等于________.
【导学号：24830068】
【解析】 由题意知k＝1，∴f′(2)等于1. 【答案】 1
3.函数y＝3x＋2在x＝－1处的导数为________. 【解析】
Δy3＝Δx－1＋Δx＋2－3×－1－2
＝3.
ΔxΔy当Δx→0时，→3.
Δx【答案】 3
4
4.函数y＝2在x＝x0处的导数为________.
x【解析】 ∵Δy＝4×
2x0＋Δxxx0＋Δx20
4x0＋Δx2
－
4
x20
＝－
4Δx2x0＋Δxx2x0＋Δx20
，∴
Δy＝－Δx2，
Δy848
当Δx→0时，→－3，即函数y＝2在x＝x0处的导数为－3. Δxx0xx08
【答案】 －3
x0
5.一辆汽车按规律s＝3t＋1做直线运动(s，单位：m，t，单位：s)，则这辆车在t＝3 s时的瞬时速度为________.
【解析】 这辆汽车从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的位移增量为Δs＝3(3＋Δt)＋1－28＝3(Δt)＋18Δt.
1
2
2
2
Δs3Δt＋18Δt＝＝3Δt＋18，当Δt→0时，3Δt＋18→18. ΔtΔt∴t＝3 s时瞬时速度为18 m/s. 【答案】 18 m/s
6.如果某物体的运动的速度为v(t)＝2(1－t)，那么其在1.2 s末的加速度为________. 【解析】
2
2
2
Δvv＝Δt1.2＋Δt－v1.2
Δt2
2×1.2－21.2＋Δt＝
Δt
Δv＝－4.8－2Δt，当Δt→0时，→－4.8.
Δt【答案】 －4.8
7.(2016·宜春高二检测)曲线y＝x－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________. 【解析】 Δy＝(1＋Δx)－(1＋Δx)＋3]－3＝2Δx＋3(Δx)＋(Δx)， Δy2Δx＋3Δx＋Δx则＝ΔxΔx＝2.
故切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 【答案】 2x－y＋1＝0
8.设曲线y＝x在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为________. 【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)
2
2
3
3
2
3
3
Δy2
＝2＋3Δx＋(Δx)，当Δx→0时，→2，即kΔxx0＋Δx∵
Δx2
－x0
2
2x0Δx＋Δx＝
Δx2
＝2x0＋Δx.
当Δx→0时，k＝f′(x0)＝2x0＝3. 3392
∴x0＝，将x0＝代入y＝x得y0＝，
224
?39?∴P的坐标为?，?.
?24??39?【答案】 ?，? ?24?
二、解答题
9.若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
?3t＋2，?s＝?
??29＋3t－3
2
2
，
t≥3，
0≤t<3，
求：(1)物体在t∈3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；
2
(3)物体在t＝1时的瞬时速度.
【导学号：24830069】
【解】 (1)∵物体在t∈3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52
＋2－(3×32
＋2)＝3×(52
－32
)＝48， ∴物体在t∈3,5]上的平均速度为： Δs48
Δt＝2
＝24(m/s). (2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度. ∵物体在t＝0附近的平均变化率为： Δsf0＋Δt－fΔt＝0Δt 2
2
＝
29＋3[0＋Δt－3]－29－30－3Δt
＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为：
liΔtm→0 ΔsΔt＝liΔtm
→0 (3Δt－18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t＝1附近的平均变化率为： Δsf1＋Δt－f1Δt＝Δt 2
2
＝
29＋3[1＋Δt－3]－29－31－3Δt
＝3Δt－12.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为
liΔtm→0 ΔsΔt＝liΔtm
→0 (3Δt－12)＝－12， 即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 10.求函数f(x)＝x＋48
x在x＝3
处的导数.
44
【解】 Δyx0＋Δx＋xx－x0－
0＋Δx0Δx＝Δx＝1－4
x，
0x0＋Δx当Δx→0时得f′(x4
0)＝1－x2，
0
3
436287?8?∴f′??＝1－＝1－＝＝.
646416?3??8?2
?3???87
∴f(x)在x＝处的导数为.
316
能力提升]
1.曲线y＝
xx＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为________.
上，∴先求y＝f(x)＝在x＝－1处的导数，
x＋2x＋2
【解析】 ∵点(－1,1)在曲线y＝
xxΔyf＝Δx－1＋Δx＋1
1＋Δx－1＋Δx－f－12＝＝，
ΔxΔx1＋ΔxΔy当Δx→0时，→2，故所求切线的斜率为k＝2.
Δx∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 【答案】 y＝2x＋1 2.已知曲线y＝
3
x上有一点A(1,3)，则曲线在点A处的切线的斜率为________.
【导学号：24830070】
3
－3
3－31＋Δx＝，
1＋ΔxΔx
1＋ΔxΔy【解析】 ∵＝
ΔxΔx＝
－9
1＋Δx·
3＋31＋Δx当Δx→0时，得f′(1)＝
－93
＝－， 3＋32
3
即所求切线的斜率k＝f′(1)＝－.
23
【答案】 －
2
3.函数f(x)的图象如图3-1-2所示，试根据函数图象判断0，f′(1)，f′(3)，
f3－f1
2
的大小关系为________.
4
图3-1-2
【解析】 设x＝1，x＝3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示.
则
f3－f1
3－1
＝kAB，f′(3)＝kBQ，f′(1)＝kAT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直
线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQ f3－f1 2 【答案】 0 f3－f1 2 2 2 2 4.已知点P在曲线y＝x＋1上，若曲线y＝x＋1在点P处的切线与曲线y＝－2x－1相切，求点P的坐标. 【解】 设点P(x0，y0)，易知曲线y＝x＋1在点P处的切线的斜率存在，设为k， Δy＝Δx2 x0＋Δx＋1－x0－1Δy＝2x0＋Δx，当Δx→0时，→2x0，即k＝2x0，所以切 ΔxΔx22 线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－x0，由题意知此直线与曲线y＝－2x－1相切. ??y＝2x0x＋1－x0 由?2 ?y＝－2x－1? 22 2 ， 2372222 得2x＋2x0x＋2－x0＝0，令Δ＝4x0－8(2－x0)＝0，解得x0＝±，此时y0＝， 33所以点P的坐标为? ?237??237? ，?或?－，?. ?33??33? 5
高中数学第3章导数及其应用3.1.2瞬时变化率—导数学业分层测评苏教选修1-1
