数学
4．3 向量平行的坐标表示
学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．
知识点 向量平行 已知下列几组向量： (1)a＝(0,3)，b＝(0,6)； (2)a＝(2,3)，b＝(4,6)； (3)a＝(－1,4)，b＝(3，－12)； 11
(4)a＝(，1)，b＝(－，－1)．
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思考1 上面几组向量中，a，b有什么关系？
思考2 以上几组向量中，a，b共线吗？
思考3 当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
思考4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
梳理 设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当a∥b时，有____________．
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有________________．即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标________；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们________．
数学
类型一 向量共线的判定与证明
例1 (1)下列各组向量中，共线的是( ) A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
→→
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
→1→→1→
跟踪训练1 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，AE＝AC，BF＝BC，
33→→
求证：EF∥AB.
类型二 利用向量共线求参数
例2 已知a＝(1,2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？ 引申探究
1．若本例条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？
2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”，又如何求k的值？
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反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．
跟踪训练2 设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
类型三 三点共线问题
→→→
例3 已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)．当k为何值时，A，B，C三点共线？
反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线． 1
8，?，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线． 跟踪训练3 已知A(1，－3)，B??2?
1．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( ) A．1 B．－1 C．4 D．－4 2．与a＝(6,8)平行的单位向量为( ) 34
，－? A.?5??5
34??34，或－，－? C.?5??55??5
34
－，－? B.?5??534±，±? D.??55?3．已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为________．
4．已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，－1)，(1,2)，(－1,1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD是梯形．
→→
5．已知A(3,5)，B(6,9)，M是直线AB上一点，且|AM|＝3|MB|，求点M的坐标．
2018北师大版高中数学必修四学案：第二章 4.3 向量平行的坐标表示
