2024年浙江专升本高数考试真题答案
一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
?sinx,x?0?1、设f(x)??x，则f(x)在(?1,1)内（ C ）
,x?0??xA、有可去间断点 解析：
x?0x?0B、连续点
x?0 C、有跳跃间断点
x?0D、有第二间断点
lim?f(x)?lim?x?0,lim?f(x)?lim?x?0sinx?1 x?lim?f(x)?lim?f(x)，但是又存在，?x?0是跳跃间断点
x?02、当x?0时，sinx?xcosx是x的（ D ）无穷小 A、低阶 解析：lim
B、等阶
C、同阶
D、高阶
2sinx?xcosxcosx?cosx?xsinxsinx?lim?lim?0?高阶无穷小
x?0x?0x?0x22x2x?x03、设f(x)二阶可导，在x?x0处f??(x0)?0，limf(x)?0，则f(x)在x?x0处（ B ）
x?x0D、x0,f(x0)是拐点
A、取得极小值 B、取得极大值 C、不是极值
??解析：?limx?x0f(x)?f(x0)f(x)?0,?f?(x0)?lim，则其f?(x0)?0,f(x0)?0，
x?x0x?x0x?x0x0为驻点，又?f??(x0)?0?x?x0是极大值点。
4、已知A、已知B、C、D、
f(x)在?a,b?上连续，则下列说法不正确的是（ B ）
?baf2(x)dx?0，则在?a,b?上，f(x)?0
d2xf(t)dt?f(2x)?f(x)，其中x,2x??a,b? ?xdxf(a)?f(b)?0，则?a,b?内有?使得f(?)?0
y?f(x)在?a,b?上有最大值M和最小值m，则m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)
abab222解析：A.由定积分几何意义可知，f(x)?0，?f(x)dx为f(x)在?a,b?上与x轴围成的面积，该
?连续?2非负?f(x)?0(a?x?b) 面积为0?f(x)?0，事实上若f(x)满足?b?f(x)dx?0??aB. 有零点定理知结论正确
C. 由积分估值定理可知，x??a,b?，m?f(x)?M， 则
?bamdx??f(x)dx??Mdx?m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)
aaabbb5、下列级数绝对收敛的是（ C ）
???cosn(?1)n?1(?1)n?11A、? B、? C、? D、?
n?1n?1n?1n?1ln(n?1)n?1nn3?9?解析：A.limn??1?11n?1?1，由
?发散发散 ?1nn?1n?1n1??11ln(1?n)1nB. lim发散 ?lim?lim?0，由?发散??n??n??n??1n1?nn?1nn?1ln(1?n)ln(1?n)1C.
cosnn?92?1n?92，而limn???1cosn1n2?9=1，由
收敛收敛收敛 ???3221n?12n?9n?9n3n2D.
?n发散
n?1?1二、填空题 6、lim(1?asinx)x?01x?ea
1x1ln(1?asinx)xln(1?asinx)limx?0x1?acosxlim1?asinxx?01解析：lim(1?asinx)?limex?0x?0?e?e?ea
7、limx?03f(3)?f(3?2x)?3，则f?(3)?
2sinxf(3)?f(3?2x)f(3?2x)?f(3)?2lim?2f?(3)?3
x?0x?0sinx?2xsinx(cosx?b)?5，则b??9 8、若常数a,b使得lim2xx?0e?asinxx(cosx?b)(cosx?b)?lim?5 解析：lim2x2xx?0ex?0?ae?a解析：lim所以根据洛必达法则可知：1?a?0,a?1
9、设??x?ln(1?t)dy，则
dx?y?t?arctantt?1?1
解析：
dy?dtdxdxdtdy1?121?t2?t(1?t)，dy1dx1?t21?t2t?1?1
d2yy2?x210、y?f(x)是x?y?1?0所确定的隐函数，则 ?dx2y32解析：方程两边同时求导，得：2x?2yy??0，y??x， yx带入， y方程2x?2yy??0同时求导，得：1?(y?)?yy???0，将y??2d2y1x2y2?x2x2?y????3?则得，1?()?yy???0， 23dxyyyy11、求
y?x的单增区间是(?1,1)
1?x21?x2?2x21?x2?解析：y?? 2222(1?x)(1?x)令y??0，则x?1，?1?x?1
212、求已知
?1kf(x)dx?e?C，则lim??f()? e?1
n??nk?0nx2n?1解析：lim111kx2?f()?f(x)dx?f(x)dx?(e?C)1?0?e?1 ??00n??nnk?0n?1解析：
???e??111dx?dlnx???e(lnx)2x(lnx)2lnx??e?1
13、由y?x：y?1,x?2围成的图形面积为
224 3解析：A??1142(x2?1)dx?(x3?x)1?
3314、常系数齐次线性微分方程y???2y??y?0的通解为
2y?(C1?C2x)ex（C1C2为任意常数）
解析：特征方程：r?2r?1?0，特征根：r1?r2?1 通解为y?(C1?C2x)e（C1C2为任意常数）
三、计算题 （本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分）
xex?e?x16、求lim
x?0ln(1?sinx)ex?e?xe2x?12x2x?x?lime?lim?lim?2 解析：limx?0ln(1?sinx)x?0x?0x?0ln(1?sinx)sinxx17、设y(x)?(1?sinx)，求y(x)在x??处的微分
xy(x)?(1?sinx)解析： x将x??代入上式，得微分dy???dx 18、求解析：19、求
??5?05?1?cos2xdx
1?cos2xdx??|sinx|dx05π0
?arctanxdx
2令x?t，则x?t解析：，dx?2tdtxcosx?解析：1?x4为奇函数，
?2x?b,x?020、已知f(x)??在x?0处可导，求a,b
ln(1?ax),x?0?解析：
?x?t?1?21、求过点A(?1,2,1)且平行于2x?3y?z?7?0又与直线?y?t?3相交的直线方程。
?z?2t????直线过点A(?1,2,1)，因为直线平行于平面，所以S?n，n?(2,?3,1)，
??设两条直线的交点P(t?1,t?3,2t)，所以S?PA?(t,t?1,2t?1)，
所以2t?3t?3?2t?1?0，t所以直线方程为
?4，P(3,7,8)，所以PA?(4,5,7)，
?x?1y?2z?1??。 45713223、讨论f(x)?x?2x?3x?1极值和拐点
3132解析：f(x)?x?2x?3x?1
3（1）
f(x)的极值
令f'(x)?0，则x1?1,x2?3
列表如下： + 1 0 极大值 - 3 0 极小值 + 所以极大值为
f(1)?17?2?3?1?，极小值f(3)?1 33的拐点
（2）f(x)f??(x)?2x?4令f??(x)?0 则x?2
列表如下： 拐四、综合每小题24、利用
凸 拐点 凹 - 2 0 + 点为?2,?。 题（本大题共3大题，10分，共30分）
?1??(?1)nxn， 1?xn?0??5?3?（1）将函数ln(1?x)展开成x的幂级数 （2）将函数ln(3?x)展开成x?2的幂级数
?11??(?1)nxn 解析：（1）令f(x)?ln(1?x)，f?(x)?，当x?(?1,1)时，
1?xn?01?x当x??1时，级数发散；当x?1时，级数收敛，故收敛域为??1,1。 （2）ln(3?x)?ln[5?(x?2)]?ln[5(1?其中，?1??x?2x?2)]?ln5?ln(1?) 55x?2?1??3?x?7。 5，???上导函数连续，f(x)?0，已知曲线f(x)与直线x?1,x?t(t?1)及x=125、f(x)在1（t??1）及x轴所围成的去边梯形绕x轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的?t倍，求f(x)
解析：S?由题意知，
?t1tf(x)dx，V???f2(x)dx
1t2t??f1(x)dx??t?f(x)dx，求导得，得?f(t)???f(x)dx??tf(t)
12t1再求导，得2?f(t)f?(t)??f(t)??f(t)??tf?(t)
即2f(t)?tf?(t)?2f(t)f?(t)，则2y?ty??2yy?，2y?(2y?t)y?，
2y?tdt?， 2ydy3??dydy122dt112y2?y?t?1，P(y)?(?edy?C)?(y?C), ，Q(y)?1，t?edy2y2yy31111由f(1)?f(1)?f(1)?1，带入得C
211
。 ?，故曲线方程为3x?2y?3y26、f(x)在a,b连续且和的直线与曲线交于（a,f(a)）（b,f(b)）（c,f(c))(a?x?b)，证明： （1）存在f?(?1)?f?(?2) （2）在(a,b)存在f??(?)?0 解析： 解法一：
（1）过(a,f(a)),(b,f(b))的直线方程可设为： 所以可构造函数：F(x)?f(x)?x 所以F(a)?F(b)?F(c) 又因为f(x)在a,c?????c,b?连续可导的，则F(x)在?a,c??c,b?连续可导，
,
所以根据罗尔定理可得存在?1?(a,c),?2?(c,b),F?(?1)?F?(?2)?0使f??(?1)?f??(?2)。
（2）由（1）知f?(?1)?f?(?2)，又f(x)二阶可导，存在且连续，故由罗尔定理可知，
???(?1,?2)?(a,b)，使得f??(?)?0。
解法二：
（1）考虑f(x)在a,c及c,b上的格拉朗日中值定理有：
??????1??a,c?，??2?(c,b)，有
f(c)?f(a)f(b)?f(c)?f?(?1)，?f?(?2)，
c?ab?c由于A(a,f(a)),B(b,f(b)),C(c,f(c))共线， 则有AC的斜率kAC?f(a)?f(c)f(b)?f(c)与BC的斜率kBC?相等，
a?cb?c于是有f?(?1)?f?(?2) （2）与解法一（2）做法一致。
浙江专升本高等数学真题
