QAD//BC，AB?BC?CD?1AD 2Q四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形
?OB?AC，OB//CD QCD?AC Q?PAD为等边三角形，O为AD中点 ?PO?AD…………………………2分
Q平面PAD?平面ABCD且平面PADI平面ABCD?AD. PO?平面PAD且PO?AD ?PO?平面ABCD QCD?平面ABCD ?PO?CD
QH，G分别为OB， PB的中点 ?GH//PO ?GH?CD…………………………5分 又QGH?AC?H AC,GHì平面GAC
\\CD^平面GAC…………………………6分
uuuvuuuvuuuv（Ⅱ）取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以OE，OD，OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.…………………………7分
?31?,?,3设AD?4，则P0,0,23，A?0,?2,0?，C3,1,0，D?0,2,0?，G???2? 2??????uuuv?33uuuv?AP?0,2,23,AG???2,2,3??.
????设平面PAG的一法向量n??x,y,z?.
?uuuv?2y?23z?0v??n?AP?0??y??3z?v由?vuuu ??3 . ?3?x?y?3z?0?x?z?n?AG?0?2?2v令z?1，则n?1,?3,1.…………………………10分
uuuv由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量CD??3,1,0.
vvuuun?CD2315???二面角P?AG?C的平面角?的余弦值cos???vuuuv??.
525nCD????.二面角P?AG?C大小的正弦值为20.（本小题满分12分）
10.…………………………12分 5?b?1,?6?c解：（Ⅰ）由题意得??, …………………………………………3分
a3?2?a?b2?c2.?2解得a?3．
x2 所以椭圆C的方程为?y2?1． …………………………………………4分
3（Ⅱ）设直线l的方程为y?x?m，P(3,yP),
?x22??y?1，由?3得4x2?6mx?3m2?3?0. …………………………6分 ?y?x?m?令??36m2?48m2?48?0，得?2?m?2．
33x1?x2??m，x1x2?(m2?1)． ……………………………………7分
24因为?PMN是以?PMN为顶角的等腰直角三角形，
所以NP平行于x轴． ………………………………8分 过M做NP的垂线，则垂足Q为线段NP的中点．
x?3设点Q的坐标为?xQ,yQ?，则xQ?xM?x1?2．
23?x?x??m，12?2?32?由方程组?x1x2?(m?1)，解得m2?2m?1?0，即m??1．
4?x2?3?x?，1?2?2?， 而m??1???2，所以直线l的方程为y?x?1． …………………………………………12分
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设切点为P?x0,y0?，f'?x??e?x，
x∴f'?x0??e0?x0?1，……………………2分
x令h?x??e?x，则h'?x??e?1，
xx当x?0时，h'?x??0，h?x?在?0,???上为增函数； 当x?0时，h'?x??0，h?x?在???,0?上为减函数； 所以h?x?min?h?0??1，所以x0?0，
12x0?1?x0?a，所以a?0．……………………4分 2x2x（Ⅱ）?x??0,???，f?x??bx恒成立?e??1?bx?0，x??0,???．
2又e0?xx2令g(x)?e??1?bx，x??0,???．
2g'?x??ex?x?b?h?x?，h'?x??ex?1,
x当x?0时，h'?x??e?1?0，所以h?x?在?0,???上为增函数，
xh?x?min?1?b，
①若b?1，则当x?0时g'(x)?0，故g?x?在?0,???上为增函数，
x2故x??0,???时，有g?x??g?0??0即e??1?bx?0恒成立，满足题意.…………8分
2②若b?1，因为g'?x?为?0,???上的增函数且g'?0??1?b?0，
xg'??ln?2b????b?lnb?ln2?b??b?1??ln2?1?ln2?0，
故存在x0??0,ln?2b??，使得g'(x0)=0.
当x??0,x0?时，g'?x??0，g?x?在?0,x0?为减函数，g?x??g?0??0，矛盾，舍去. 综上b?1．………………………12分
22. （本小题满分10分）
????…………………………3分 ?2?（Ⅱ）??4sin?………………………7分
2?????????……………………10分 33??解：（Ⅰ）?4,
四川省成都石室中学2020届高三数学10月月考试题 理
