高等数学（东北大学出版社）第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1章

习题1.1

⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？ （1）y33?x与y=x2 是同一函数 （2）y?x与y=x是同一函数

函数、极限与连续

2x?1不是同一函数 （4）

（3）y?x?1与y=y?2lnx与y=lnx2不是同一函数

x?1

⒉指出下列函数的定义域. （1）f(x)?（3）f(x)?413x?4的定义域是[?,??) （2）f(x)?ln的定义域是(??,1)

31?xln(x2?1)的定义域是(??,2]?[2,??)

1e（4）f(x)?arcsin(lnx)的定义域是[?,e]

（5）若f(x)的定义域是[?4,4]，则f(x)的定义域是[?2,2]

（6）若f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x?a)?f(x?a)的定义域是[a,2a] 3.判别下列函数的奇偶性.

（1）f?x??x?sinx是奇函数 （2）数

（3）f?x??x2?x是非奇非偶函数 （4）f?x??lg1?x是奇函数

2f?x??x?cosx是奇函

1?x（5）f?x??cos(sinx)是偶函数 （6）f?x??sinx是偶函数

x（7）f?x??ln(x2?1?x)是奇函数 （8）f?x??cosx是偶函数

1?x2⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）y?sinx在其定义域内不是单调的 （2）y?arcsinx在其定义域内是单调递增的

（3）y?x2?x在其定义域内不是单调的 （4）a?0时，y a?0时，y a?0时，y?eax在其定义域内是单调的，其中 ?eax在其定义域内是单调递减的， ?eax在其定义域内是单调递增的

5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）y?1x在区间(1,??)上有界

（2）y?ln(2x?1)在区间(1,10)上有界 （3）y?x在区间(?3,4)上有界

（4）y?sinx在区间(??,0),(??,??),(?1,1)上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）y3?sin3x是周期函数，最小正周期是

2? 3（2）y?cosx是周期函数，最小正周期是? （3）y?tan2x是周期函数，最小正周期是

? 2（4）y?ln(cosx?2)是周期函数，最小正周期是? 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.

（1）f(u)?arcsin(2?u),u?x不可以构成复合函数 （2）f(u)?ln(1?u),u?sin2x不可以构成复合函数

21不可以构成复合函数

2?x22x（4）f(u)?arccosu,u?可以构成复合函数

1?x2（3）f(u)?u,u?ln8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数f(x)?（2）对复合函数f(x)?ex2?3x?4的分解结果是：f(x)?u,u?x2?3x?4

2x?3的分解结果是：f(x)?e,u?2x?3

u（3）对复合函数f(x)?ln(2x?3)的分解结果是：f(x)?lnu,u?2x?3 （4）对复合函数f(x)?arcsin(x?1)的分解结果是：f(x)?accsinu,u?x?1

9.求函数值或表达式. （1）已知函数f(x)?x?2x?1?sinx?0,则f(2)?0,f(?2)?-4,f(0)?2,f(x2)?x2?2x2?1.

（2）已知函数f(x)??,x?1?2,则f(1)?0,f()?,f(?)?0.

42,x?1121. 22（3）已知函数f(x)?sinx,则f(?arcsin)?-（4）已知函数f(sinx)?cos2x，则f(x)?1?2x,x???1,1?

习题1.2

1.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1）xn:1,1131517lim?0 有极限，,,,,,? 没有极限 （2）xn?n??23456nn（3）xn?sinn?nnn没有极限 （4）xn?(?1)3有极限，lim[(?1)n3]?0

n??2n?1n?12.分析下列函数的变化趋势，求极限 （1）lim11lim?0 （2）?0x???x??x2x?1（3）limln(x?2)??? （4）limx???2x?3?2

x???x?23.图略，limf(x)不存在

x?04.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？

（1）x?0时，100x是无穷小量 （2）x?0时，

2?2x是无穷大量

（3）x??时，

x?1x是无穷小量 （4）x???时，e是无穷大量 2x?1nn2sinx（5）n??时，(?1)是无穷大量 （6）x??时，是无穷小量

n?3x（7）x??时，sin5.已知函数f(x)?1x是无穷小量 （8）x?0时，2?1是无穷小量 xx?1，则f(x)在x???或x???或x??的过程中是无2(x?3)?穷小量，在x?3或x?3或x?3的过程中是无穷大量？

?

6. 当x??1时，无穷小1?x与下列无穷小是否同阶？是否等价？ （１）当x??1时，无穷小1?x与无穷小1?x同阶，但不等价 （２）当x??1时，无穷小1?x与无穷小

31(1?x2)同阶，而且等价 2习题1.3

1.设函数f(x)?x，则limt?0f(x?t)?f(x)1?

t2x?x2?1,x?22.设函数f(x)??，则lim?f(x)?5,lim?f(x)?5,limf(x)?5.

x?2x?2x?2?2x?1,x?23.求下列各式的极限：

x2?32??（1）lim(2x?x?5)?15 （2）lim4

x?1x?x2?1x??2322x2?x25?2 （3）lim(1?)? （4）lim2x??x?4x?0x?331?1?x2112n1??（5）lim （6） lim(????)?22x?0n??n22x22nn（7）limx???x2?2x?2?1x3?1?1 （8）lim?3

x?1xx?12（9）limx(9x?1?3x)?x???2?x?x1?1 （10）limx?11?x6(x?1)10(2x?3)10210（11）lim?20

x???(3x?5)203x2?ax?6??5，则a?7. 4.已知limx?1x?15.lim(x?kx?x)?2，则k?4.

x???26.求下列极限： （1）limsin5x5tan2x?sinx? （2）lim?1

x?0sin2xx?02xcosx?cos3xtan(2x?x3)（3）lim?4 （4）lim?2 22x?0x?0xsin(x?x)1x?sinx?1 （6）lim?0

x??x?0xx?sinx2arcsinx2tanx?sinx1（7）lim? （8）lim? 3x?0x?03x32x（5）limx?sin7.求下列极限： （1）lim(1?x??42x2)?e8 （2）lim(1?)x?1?e?2

x??xx22?3?xxx?1x?1)?e3 （4）lim(（3）lim()?e?2

x?0x??x?13（5）lim?(1?lnx)x?15lnx?e5 （6）lim(1?cosx)secx?e

x??28.用等价无穷小替换计算下列各极限：

arctan6x4x?2 （2）lim2x?2

x?0x?0e3x?11?cos2xln(1?2x)（3）lim （4）?2lim?2 2xx?0x?0xe?1（1）lim习题1.4

?x2?1?,x?1，则

1.设函数f(x)??x?1?,x?1?3f(x)在x?1处不连续．

2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？ （1）函数f(x)?1的间断点有点x??1和点x?1，它们都是第二类间断点中的2x?11x无穷间断点

（2）函数f(x)?e的间断点有点x?0，它是第二类间断点

x2?1（3）函数f(x)?的间断点有点x?0和点x?1，其中点x?0是第二类间断

(x?1)x点中的无穷间断点，点x?1是第一类间断点

?x2?1?,x??1的间断点有点x??1，它是第一类间断点中的

（4）函数f(x)??x?1?,x??1?0可去间断点