代入椭圆方程x?22?y?2?1，得到x2?y2?2 ∴点P的轨迹方程x2?y2?2。
∴过P与直线OQ垂直的直线为：y?y31?y??x?x1? 2当x??1时，y?y1?3y??1?x1? 2?y?331?y?x1y 22?y3x131?y? 2y2?y1?y2?3x13y?
2y2①代入得y?0
∴过P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。
21.（12分）
已知函数f?x??ax2?ax?xlnx，且f?x??0。
(1)求；
(2)证明：f?x?存在唯一的极大值点x20，且e??f?x0??2?2.
【解析】
+?? （1）f?x?的定义域为?0，设g?x?=ax-a-lnx，则f?x?=xg?x?,f?x??0等价于g?x??0 因为g?1?=0，g?x??0,故g'?1?=0,而g'?x??a?若a=1，则g'x?=?1?1,g'?1?=a?1,得a?1 x1.当0＜x＜1时，g'?x?＜0,g?x?单调递减；当x＞1时，g'?x?＞0，g?x?x单调递增.所以x=1是g?x?的极小值点，故g?x??g?1?=0 综上，a=1
又he?2＞0,h??＜0,h?1??0，所以h?x?在?0,?有唯一零点x0，在?,+??有唯一零点1，
?????1??2??1?2??1?2?且当x??0,x0?时，h?x?＞0；当x??x0,1?时，h?x?＜0，当x??1,+??时，h?x?＞0. 因为f'?x??h?x?，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由f'?x0??0得lnx0?2(x0?1),故f?x0?=x0(1?x0) 由x0??0,1?得f'?x0?＜1 4因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e?1??0,1?,f'e?1?0得
??f?x0?＞fe?1?e?2
所以e?2＜f?x0?＜2-2
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22.选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的
??直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为(2,【解析】
?3)，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值．
（2）设点B的极坐标为?B，?????＞0?,由题设知
BOA=2，?B=4cos?,于是△OAB面积
S=1OA?Bsin?AOB2????4cos?sin????3?????3?2sin?2????3?2??2?当?=-?12
3时，S取得最大值2+3
所以△OAB面积的最大值为2+3 23.选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a?0,b?0,a?b?2，证明： （1）(a?b)(a?b)?4； （2）a?b?2． 【解析】（1）
5533?a?b??a5?b5?a6?ab5?a5b?b6?a?b??33?2?2a3b3?aba4?b42??
?4?aba?b?4
?2?2（2）因为
?a?b?3?a3?3a2b?3ab2?b3?2?3ab?a+b??2+3?a+b?42?a+b??2?3?a+b?43
所以a+b
??3?8，因此a+b≤2.
2017年全国高考理科数学试题及标准答案全国卷2
