圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第3章 随机过程
3-1 设X是α=0，?=1的高斯随机变量，试确定随机变量Y=cX+d的概率密度函数f（y），其中c，d均为常数。
解：高斯变量的线性变换仍为高斯变量，故Y?cX?d为高斯随机变量。均值：又因为
2故方差：D(Y)?E[Y2]?E2[Y]?c2??y则高斯随机变量Y的概率密度函数
?(y??y)2??(y?d)2?。1f(y)?exp???exp???2c2?22?2??y2?c????y??13-2 设随机过程?(t)可表示成
式中，?是一个离散随机变量，且P(?=0)=1/2，P(?=π/2)=1/2，试求E?(1)及
R?(0，1)。
解：（1）随机变量?(t)的期望为
E?(t)?E?2cos(2?t??)??E[2cos2?t?cos??2sin2?t?sin?]?2cos2?t?E[cos?]?2sin2?t?E[sin?]当t=1时，E?[1]?2E[cos?]?2[P(??0)cos0?P(??（2）
?2)cos?2]?1。
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台?2)??(t1)?(t2)????R?(t1,t2)?E??(t1)?(t2)??P(??0)??(t1)?(t2)???0?P(???211???[2cos2?t1?2cos2?t2]??[2cos(2?t1?)?2cos(2?t2?)]2222 时，
。
当
3-3 设随机过程Y(t)=X1cosω0t－X2sinω0t，若X1与X2是彼此独立且均值为0、方
差为σ2的高斯随机变量，试求：
（1）E[Y(t)]、E[Y2(t)]；
（2）Y(t)的一维分布密度函数（3）R(t1,t2)和B(t1,t2)。
f(y)；
解：（1）已知Y(t)?X1cos?0t?X2sin?0t，则
E?Y(t)??E?X1cosw0t?X2sinw0t??cosw0tE?X1]?sinw0tE[X2??0222???X?EX??根据题意可知，E?，E?X1X2??E?X1?E?X2??0（X1与?1??2?X2相互独立）
2??X1cos?0t?X2sin?0t?2??E?Y(t)?E?????E[X12cos2?0?X22sin2?0t?2X1X2cos?0tsin?0t]?cos2?0E[X12]?sin2?0tE[X22]?2cos?0tsin?0tE[X1X2]??2（2）因为Y(t)是高斯随机变量X1和X2的线性组合，故Y(t)也是高斯随机变量。由（1）可得Y(t)的方差
222?D?Y(t)??E?Y(t)?EY(t)??????Y(t)的一维分布密度函数
?y2?1f(y)?exp??2?。
2???2?? 2 / 15
圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（3）自相关函数：
R(t1,t2)?E?Y(t1)Y(t2)??E???X1cosw0t1?X2sinw0t1??X1cosw0t2?X2sinw0t2???
2?cos?0t1?cos?0t2?E[X12]?sin?0t1?sin?0t2?E[X2]??2cos?0(t1?t2)协方差矩阵：
B(t1,t2)?R(t1,t2)?E?Y(t1)?E?Y(t2)???2cos?0(t1?t2)。
3-4 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为aX和aY，自相关函数分别为Rx(τ)和Ry(τ)。
(1)试求乘积z(t)=X(t)·Y(t)的自相关函数。(2)试求之和Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。解：X(t)、Y(t)是统计独立的平稳随机过程，有
RX(?)?E?X(t1)X(t2)?，??t1?t2RY(?)?E?Y(t1)Y(t2)?，??t1?t2E?X(t)Y(t)??E?X(t)?E?Y(t)?则：（1）Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数
RZ(t1,t2)?E?X(t1)Y(t1)X(t2)Y(t2)??E?X(t1)X(t2)?E?Y(t1)Y(t2)??RX(?)RY(?) 说明Z(t)也是平稳随机过程，且RZ(?)?RX(?)RY(?)（2）Z(t)?X(t)?Y(t)的自相关函数
RZ(t1,t2)?E{[X(t1)?Y(t1)][?X(t2)?Y(t2)?]}?E?X(t1)X(t2)??E?Y(t1)Y(t2)??E?X(t1)?E?Y(t2)??E?X(t2)?E?Y(t1)??RX(?)?RY(?)?2axay说明Z(t)也是平稳随机过程，且RZ(?)? 3 / 15
函数为
圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台3-5 已知随机过程z(t)=m(t)cos(ωct+θ)，其中，m(t)是广义平稳过程，且其自相关
随机变量θ在(0，2π)上服从均匀分布，它与m(t)彼此统计独立。(1)证明z(t)是广义平稳的；(2)试画出自相关函数Rz(τ)的波形；(3)试求功率谱密度Rz(f)及功率S。
解：（1）欲证随机过程z(t)广义平稳，只需验证z(t)的均值与时间无关，自相关函数仅与时间间隔?有关即可。
由题意可知，m(t)的均值为常数；f(?)?z(t)的均值
1,(0???2?)，所以2?(m(t)与?相互独立)
z(t)的自相关函数
Rz(t1,t2)?E?m(t1)cos(w0t1??)m(t2)cos(w0t2??)??E?m(t1)m(t2)?E?cos(?0t1??)cos(?0t2??)?1?1??Rm(t1?t2)E?cos?2???0(t1?t2)??cos?0(t1?t2)?2?2?1?cos?0?Rm(?)?Rz(?)2综上，z(t)的均值与t无关，自相关函数仅与时间间隔?有关，故z(t)广义平稳。（2）由（1）可得自相关函数
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台?1?2(1??)cos?0???????????0??1?1Rz(?)?cos?0(?)Rm(?)=?(1??)cos?0?????????????2?2????????????????0?????????????????其他??????????????????其波形如图3-1所示。
图3-1 自相关函数Rz(?)的波形
（3）z(t)的功率谱密度与自相关函数互为傅里叶变换。
由（2）知，Rz(?)可看作余弦函数与三角波的乘积，利用傅里叶变换性质，有
11?????(???0)??(???0)??Sa22?22???0???01?[Sa2()?Sa2()]422Pz(?)?功率
3-6 已知噪声n(t)的自相关函数为
(k为常数)
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