实用标准文案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设f(x)=lnx，且函数?(x)的反函数??1(x)=x+2x-2x+22(x+1)，则f??(x)??（ ） x-1x-2x+22-xx+2
A.ln B.ln C.ln D.ln2-x0tx?e?2．limx?0?e?t?2?dt1?cosx?（ ）
D．?
A．0 B．1 C．-1
3．设?y?f(x0??x)?f(x0)且函数f(x)在x?x0处可导，则必有（ ）
A.lim?y?0 B.?y?0 C.dy?0 D.?y?dy
?x?0?2x2,x?14．设函数f(x)=?，则f(x)在点x=1处（ ）
?3x?1,x?1A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设?xf(x)dx=e-x?C，则f(x)=（ ）
A.xe-x B.-xe-x C.2e-x D.-2e-x
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+
222227．lim?a?aq?aq2?n??11)+f(x-)的定义域是__________. 44?aqn??q?1??_________
8．limarctanx?_________
x??xg29.已知某产品产量为g时，总成本是C(g)=9+，则生产100件产品时的边际成本MCg?100?__
80010.函数f(x)?x3?2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数y?2x3?9x2?12x?9的单调减少区间是___________.
12.微分方程xy'?y?1?x的通解是___________. 13.设
3e?1cos2x14.设z?则dz= _______. y?2ln2dtta??6,则a?___________.
15.设D?(x,y)0?x?1,0?y?1，则???2yxe??dxdy?_____________. D三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
精彩文档
实用标准文案
?1?16.设y???，求dy.
?x?17.求极限limlncotx
x?0?lnx18.求不定积分
x??5x?1??a0z1ln?5x?1?dx.
19.计算定积分I=
2a2?x2dx.
20.设方程xy?2xz?e?1确定隐函数z=z(x,y)，求z'x,z'y。 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？
?22.计算定积分xsin2xdx
?023.将二次积分I??dx?02??sinxy2dy化为先对x积分的二次积分并计算其值。 y五、应用题（本题9分） 24.已知曲线y?x，求
（1）曲线上当x=1时的切线方程；
（2）求曲线y?x与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx. 六、证明题（本题5分）
25．证明：当x>0时，xln(x?1?x2)?1?x2?1
2参考答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．答案：B
2．答案：A
3．答案：A 4．答案：C 5．答案：D
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
精彩文档
实用标准文案
?13???a7．答案：
1?q6．答案：?,?
448．答案：0
19．答案：
4110．答案： 311．答案：（1，2）
x3?1?Cx 12．答案：213．答案：a?ln2
1?cos2x?14．答案：??sin2xdx?dy?
y?y?1?215．答案：?1?e?
4
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
x?1?16. 答案：??lnx?1???dx
?x?17．答案：-1 18．答案：19. 答案：
2ln?5x?1??C 54a2
?2xy?2zx2'，Zy?20. 答案：Z?
2x?ez2x?ez'x
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．答案：r0?22．答案：
3VV4V3 ，h0??22??r0??24
23. 答案：1
五、应用题（本题9分）
精彩文档
实用标准文案
24. 答案：（1）y=2x-1（2）
11?， 12301?1?y?123122（2） 所求面积S??(?y)dy???y?1??y??
023?012?411???2221所求体积Vx????x?dx????1???? 0325630
六、证明题（本题5分） 25．证明：
f(x)?xln(x?1?x2)?1?x2?12x1?2x21?x2 ?f'(x)?ln(x?1?x)?x?x?1?x21?x2xx ?ln(x?1?x2)??1?x21?x2 ?ln(x?1?x2) x?0 ?x?1?x2?1 ?f'(x)?ln(x?1?x2)?0故当x?0时f(x)单调递增，则f(x)?f(0),即
xln(x?1?x2)?1?x2?1
三．解答题 (每小题7分 共28分)
2x?3x?4x1)x 16 计算lim(x?03解 原式=limex?01?2x?3x?4x?ln???x?3???ex?0limln2x?3x?4x?ln3x???ex?0limA
2xln2?3xln3?4xln4ln2?ln3?ln43limA?lim??ln24 xxxx?0x?02?3?43 原式=?324?233 x2sint1dt，求?xf(x)dx 17．设f(x)??10t2xsinx22sinx2?解 显然f(1)?0,f?(x)? x2x111121122??原式= ?f(x)dx??xf(x)???xf?(x)dx
02022011111122221 ???2xsinxdx???sinxdx?cosx0??cos1?1?
202022精彩文档
实用标准文案
?w?2w,18．设w?f?x?2y?3z,xyz?，f具有二阶连续偏导数，求 ?x?x?y解 令u?x?2y?3z,v?xyz，则
?w?w?u?w?v???f1'?f2'yz ?x?u?x?v?x?f2'?2w?f1'''''''''??zy?1?zf2'??2f11?f12xz??zy?2f21?f22xz??zf2' ?x?y?y?y''''''?2f11??x?2y?zf12?xyz2f22?zf2'
?x???sin?19．求摆线?,(??????)的弧长L
y?1?cos??解
L?????222?x?????y???d??????1?cos???sin2?d?
??2??02?1?cos??d??4?3
?0???sind??8??cos??8
22?0???四 综合题（共18分）
20．修建一个容积等于108m的无盖长方体蓄水池，应如何选择水池长、宽、高尺寸，才使它的表面积最小，
并求出它的最小表面积。
解 设水池长、宽、高分别为x,y,z ?m?,则问题是在条件??x,y,z??xyz?108 下，求函数 S?xy?2yz?2zx?x?0,y?0,z?0?的最小值，作Lagrange函数
L?x,y,z??xy?2yz?2zx???xyz?108?
?Lx?y?2z??yz?0?L?x?2y??xz?0?y解方程组 ?
?Lz?2x?2y??xy?0?xyz?108?得唯一可能极值点 ?6,6,3?，由实际问题知表面积最小值存在，所以在长为6m,宽为6m，高为3m时，
表面积最小,最小值为108m . 21．21、若f(x)在?0,1?上连续，在?0,1?内有二阶导数，求证
（1）存在???0,12?，使f(1)?2f(12)?f(0)??f?(??12)?f?(?)?/2 （2）存在???0,1?，使f(1)?2f(12)?f(0)?f??(?)/4 证明 （1）设F?x??f(x?12)?f(x)2x??0,12?，则F(x)在?0,12?上
满足Lagrage中值定理条件，所以，存在???0,12?，使
F?12??F(0)?F?(?)/2??f(1)?f(12)???f(12)?f(0)?
?f(1)?2f(12)?f(0)??f?(??12)?f?(?)?/2
（2）由已知还有，f?(x)在??,??12???0,1?内可导，再次用Lagrage中值定理 所以，存在????,??12???0,1?，使
f?(??12)?f?(?)?f??(?)/2
结合（1）有
f(1)?2f(12)?f(0)??f?(??12)?f?(?)?/2?f??(?)/4
精彩文档
实用标准文案
试题及答案
一、单项选择题
1．设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，则
f(a?x,b)?f(a?x,b)= 。 limxx?0A、 0； B、fx(2a,b)； C、fx(a,b)； D、2fx(a,b)。
2．设曲面z?f(x,y)与平面y?y0的交线在点(x0,y0,f(xo,y0))处的切线与x轴正向所成的角为则 。
?，63??1； B、fy(x0,y0)?cos(?)?；
62262?3??C、fx(x0,y0)?tg?； D、fy(x0,y0)?tg(?)?3。
6326A、fx(x0,y0)?cos??3．
limun??n?0是级数?un发散的 。
n?0?A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。 4．在区域D：0?y?2R2?x2上的??xy2d?值为 。
DA、?R； B、4?R； C、?R； D、0。
5．下列函数中，哪个是微分方程dy?2xdx?0的解 。
2A、y?2x； B、y?x； C、y??2x； D、y??x。 二、 是非判断题（15分）
2223
3
xdy?ydx22x?y?1按逆时针转一周（ ） =0，其中为圆周L?Lx2?y2????2．如果，均存在，则???(x,y)沿任何方向的方向导数均存在（ ）
?y?x1．
3．以f(x,y)为面密度的平面薄片D的质量可表为
（ ） ??f(x,y)d?。
D4．f(x)在(0,?]上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且[0,?]上收敛于f(x)。（ ）
1． 微分方程的通解包含了所有的解。（ ） 三、计算题（16分）
?2???1． 设??f(x?y,e)，其中f具有一阶连续偏导数，求，。
?x?x?y2． 已知yz?zx?xy?1，确定的z?z(x,y)，求dz。
22xy四、（10分）求
2222x?y?2z和平面z?2所围成的区域。 的值，其中为曲面(x?y)dxdydz?????五、（12分）验证：六、（10分）求
2xdy?ydx在右半平面(x?0)内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。
x2?y22??xdydz?z?dxdy，其中?为z?x2?y2和z?1所围立体边界的外侧。
精彩文档
实用标准文案
?y???y?sin2x?0?七、（12分）求微分方程?y(?)?1的特解。
?y?(?)?1?xn八、（10分）求?的和函数。
n?0n?1?参考答案
一、单项选择题（15分，每题3分）
1、 D； 2、C； 3、A； 4、D； 5、B。 二、是非判断题（15分，每题3分） 1、×； 2、×； 3∨、； 4、∨； 5、×。 三、计算题（16分）
?u?f1??2x?f2?yexy……4分 ?x?2u??(?2y)?f12???xexy]?yexy[f21??(?2y)?f22??xexy]?f2?exy?f2?xyexy ?2x[f11?x?y???2x2exyf12???2y2exyf21???xye2xyf22???exyf2??xyexyf2?……10分 ??2xyf112．F?yz?zx?xy?1……1分
1．
?Fx?z?y??Fy?z?x……3分 ??Fz?y?xF?zz?y??x?? ?xFzy?xFy?zz?x……5分 ??????yFzy?x1?dz??[(y?z)dz?(x?z)dy]……6分
x?y?四、(10分)
2232?dz……6分 (x?y)dxdydz?d?d?????????0022?22?16?……10分 3?yx??
x2?y2x2?y2五、（12分）P????Py2?x2……4分 ?2?22?x?y(x?y)在右半平面内恒成立，因此在右半平面内
xdy?ydx是某个函数的全微分……6分
x2?y2u(x,y)??(x,y)(1,0)xdy?ydx……8分
x2?y2??y0xdyyyy……12分 ?arctg?arctg22x0xx?y22xdydz?zdxdy????(2x?2z)dxdydz……4分 ????六、（10分）
精彩文档
实用标准文案
?2?d??rdr?(rcos??z)dz……8分
00r2?112?……10分 32七、（12分）?r?1?0 ?r??i……2分
*设此方程的特解为：y?Acos2x?Bsin2x代入原方程得 ?3Acos2x?3Bsin2x??sin2x ?A?0???1……6分
B??3??故此方程的通解为：y?c1cosx?c2sinx?代入初始条件 c1??1,c2??1sin2x……10分 31 311? 特解为：y??cosx?sinx?sin2x……12分
33n?1?1 ?R?1 ……2分 八、（10分）??limn??n?2从而收敛域为[?1,1)
xn设S(x)??
n?0n?1?xn?1 ?xsin(x)??n?0n?1??(xS(x))???xn?n?0?1 (x?1) 1?x?xS(x)??1dx??ln(1?x) (?1?x?1)……8分
01?x1? 当x?0时，有S(x)??ln(1?x)
xS(0)?limS(x)?1
xx?0?1??ln(1?x),x?[?1,0)?(0,1)?S(x)??x……10分
??1,x?0
三、计算题（每小题7分，共49分）
111、求极限 lim(?).
x?1lnxx?1解:lim(x?111x?1?lnx?) ?lim ?limx?1x?1x?1lnxx?1(x?1)lnx?lnxx1?1x精彩文档
实用标准文案
?limx?1x?111 ?lim ?
x?1?xlnxx?11?lnx?122xx?1?2x?2、求极限 lim??x?1x?1??.
?2x?解:设y????x?1?2xx?1
2x2x?lnx?1x?1x?1x?1x?12(x?1)?2x2x?ln2x(x?1)2x?1?lim ?1 ?limx?1x?1x?111?22x2x故原式?e
3、设 y?sinx?cosx?tanx?cotx?cscx.求y?
y??cosx?sinx?sce2x?csc2x?cscx?cotx
1 4、设y(x)?cos(sin)，求dy．x111dy?y?(x)dx?2?sin(sin)?cosdx
xxx 则limlny?lim7、求函数y?x5?5x4?5x3?1在??1,2?上的最大值,最小值
y??5x2(x?1)(x?3)
在?1，2上的驻点：x1?0，x2?1
而y(0)?1，y(1)?2，y(?1)??10，y(2)??7
??? ymax?y(1)?2 ymin?y(?1)??10四、问答题（每小题6分，共12分）
x2?11、指出f(x)?2的间断点，并判别其类型．
x?x(x?1)(x?1)f(x)?，x?0与x?1是f(x)的间断点
x(x?1)(x?1)(x?1)因为：lim??所以x?0是f(x)的无穷间断点
x?0x(x?1)(x?1)(x?1)而lim?2所以x?1是f(x)的可去间断点 x?1x(x?1)x3?42、设函数y?讨论下列问题2x(1)函数的单调增减区间及极值
(2)函数图形的凹凸及拐点(3)函数图形的渐近线
精彩文档
实用标准文案
??x3?48(1) y? y?1? 仅当x?2时，y?0x2x3? 当???x?0 y?0 函数单调增
? 当0?x?2 y?0 函数单调减? 当x?2 y?0 函数单调增 x?2时，y取得极小值 y(2)?3
24(2) y???4?0 函数图形在(??，0)及(0，??)都向上凹 x 无拐点y(3) lim?1 lim(y?x)?0x??xx?? 函数图形有斜渐近线y?x
limy??，函数图形有铅直渐近线 x?0x?0五、应用题（本题共9分） 设有一块边长为a的正方形铁皮,从四个角截去同样的小方块,作成一个无盖的方盒子,问小方块的边长为多少才使盒子的容积最大?设小方块的边长为x,则盒子的容积为a 223V?x(a?2x)?ax?4x?4ax, 0?x?2V??a2?12x?8axa
唯一驻点：x?6V??x?a6
?(24x?8a)x?a6??4a?0
即x?
aa为极大值点,也是最大值,所以小方块边长为时,盒子的容积最大 66精彩文档
一单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
