成都七中2017年外地生招生考试数学试题
（时间120分，满分150分）
一、 填空题（1—6题每题5分，7—12题每题7分，13—18题每题8分，共120分） 1. 若a-3+b-7=0，则a+b=________．
2. 设a≠b，且a2+3a=b2+3b=5，则ab2+a2b=________． 3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，
则三棱锥C1A1DB的体积为________．
4. 将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数
4相差2的概率为________．
5. 抛物线y=ax2-2，y=4-bx2与坐标轴恰有4个交点，这个4交点组成的筝形面积为12，则
a+b=________．
6. 设x=1-52，则x3-1x3=________．
7. 已知关于x的方程x-2x-3=0的两实数根为x1,x2，则
21x1+1x2=________．
8. 化简a2-2a+22-a+1a+2a-3a-4-25a-3(a+1)=________． 9. 已知m,n为正整数，若24m=n4，则m的最小值为________． 10. 如图，在边长为3的正△ABC中，D,E分别在边AC,AB上，且
AD=13AC，AE=23AB，BD,CE相交于点F，则A,D,F所在圆的半径为________．
11. 若x≠y，且x2=2x+1，y2=2y+1，则x6+y6=________．
12. 在△ABC中，边BC上的高为1，点D为AC的中点，则BD的最小值为________． 13. 方程2x2+2x+x2+x+32=3的所有实数解的和为________．
14. 若方程x2-2x-1=0的根也是方程x3+ax2+bx+c=0的根，则
3a+b+c=________．
15. 将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹
果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有，且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为________．
16. 如图，在圆心为O的圆中，点C,D分别位于圆O的直径AB两侧，若△
OCD的面积是△BCD的面积的两倍，又CD=CA，则cos∠OCD=________． 17. 设1≤n≤100，若8n+1为完全平方数，则整数n的个数为________．
18. 从1,2,3,…,2017中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个
数（要求互不相等），则满足条件的的k最小值是________． 二、 解答题（第19题12分，第20题18分）
19. 已知曲线y=2x与直线y=-x+3相交于A,B两点，C,D两点在曲线y=mx(m>2)上，四边形
ABCD是正方形． (1) 求m的值．
(2) 若点P在函数y=mx的图象上，且AP=BP，求△ABP的面积． 20. 已知关于x的方程x2+2px-3p2+5-q=0，其中p,q都是实数．
(1) 若q=0时方程有两个不同的实数根x1,x2，且1x1+1x2=17，求实数p的值． (2) 若方程有三个不同的实数根x1,x2,x3，且1x1+1x2+1x3=0，求实数p和q的值． (3) 是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4，且
x1x2x3x4=3x1+x2+x3+x444？若存在，求出所有满足条件的p,q；若不存在，说明理由．
参考答案
一、 填空题 1. 10
2. 15
3. 8
4. 13
5. 32
6. 2 17. 13
7. -43 18. 17
8. 15
9. 54
10. 1 11. 198 12. 12 二、解答题 19. 解：(1)
联立y=2xy=-x+3得A(1,2)，B(2,1)，所以正方形ABCD的中心为(2,2)，于是
……6分
C(3,2)，代入y=mx得m=6．
13. -1
14. -7
15. 6 16. 64
(2) 因为AP=BP，所以点P落在AB的垂直平分线y=x上，联立y=6xy=x解得P(6,6)或P(-6,-6)．AB的中点M(32,32)，AB=2．
当P(6,6)时，MP=23-322，S△ABC=12?AB?MP=6-32． 当P(-6,-6)时，MP=23+322，S△ABC=12?AB?MP=6+32． 所以△ABP的面积为6±32．
……12分（掉一解扣2分）
21.解：(1) q=0，方程为x2+2px-3p2+5=0，Δ=16p2-20>0，p2>54，x1+x2=-2p，x1x2=-3p2+5．17=1x1+1x2=x1+x2x1x2=-2p-3p2+5，即3p2-14p-5=0-3p2+5≠0，解得p=5或-13，因为p2>54，所以p=5．
……6分（多一解扣2分）
(2) 显然q>0，方程可写成x2+2px-3p2+5=±q，因为方程有三个不同的实数根，结合y=x2+2px-3p2+5与y=±q的图象知x3=-p，-q=f-p=-4p2+5，q=4p2-5．x1,x2是x2+2px-3p2+5=q，即x2+2px-7p2+10=0的两根，x1+x2=-2p，x1x2=-7p2+10，Δ=32p2-40>0，p2>54．1x1+1x2+1x3=x1+x2x1x2+1x3=10-5p27p2-10p=0，p2=2>54，所以p=±2，q=4p2-5=3． ……12分 (3) 存在．
方程有四个不同实数根x1,x2,x3,x4，由(2)知0 不妨设x1,x2是方程x2+2px-3p2+5=q的两根，x3,x4是方程x2+2px-3p2+5=-q的两根，则x1+x2=-2p，x1x2=-3p2+5-q，x3+x4=-2p，x3x4=-3p2+5+q，x1+x2+x3+x4=-4p，x1x2x3x4=-3p2+5-q(-3p2+5+q)，所以3p2-5+q3p2+5-q=3p4． ……14分 注意到p是质数，p≥2，因为3p2-5+q>3p2-5-q>0，所以3p2-5+q>3p2>p2． 3p4=3p4×1=p4×3=3p3×p=p3×3p=3p2×p2． 方法1： 3p2-5+q=3p43p2-5-q=1，3p4-6p2+11=0，无解． 3p2-5+q=p43p2-5-q=3，p4-6p2+13=0，无解． 3p2-5+q=3p33p2-5-q=p，3p3-6p2+p+10=p+1(3p2-9p+10)=0，p=-1． 3p2-5+q=p33p2-5-q=3p，p3-6p2+3p+10=p+1p-2(p-5)=0，p=-1,2,5． 3p2-5+q=3p23p2-5-q=p2，p=±5． 所以存在满足条件的p,q，当p=2时q=1，当p=5时q=55． 方法2：p2∣(3p2-5+q)，所以p2∣(q-5)． 设q-5=mp2，则q=mp2+5，其中m=-1,0,1,2,3,…，q2=mp2+52=m2p4+10mp2+25， 3p2-5+q3p2+5-q=3p4，q2=6p4-30p2+25，于是m2p4+10mp2+25=6p4-30p2+25，即m2p2+10m=6p2-30， 所以p2=10m+36-m2q=mp2+5，m的所有可能取值为-1,2． 所以存在满足条件的p,q，当m=-1时p=2，q=1，当m=2时p=5，q=55．
成都七中2017年外地生招生考试数学试题
