第46讲 直接证明与间接证明
1．(2017·汾阳市校级月考)否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为(D) A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶
数，选D.
2．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a ①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3. 3．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(D) x＋yx＋y A. x< 22x＋yx＋y C．x< 22 x＋y 因为y>x>0，所以y>>xy>x，选D. 2 111 4．(2017·石河子校级月考)设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c yzx 三数(C) A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 111111 因为a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝x＋＋y＋＋z＋≥6， yzxxyy 若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6与上式矛盾，故a，b，c中至少有一个不小于2，选C. 5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是 a≤b . 19 6．设a，b，u都是正实数，且a，b满足＋＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值 ab 范围是 (0,16] . 19 因为＋＝1， ab 19 所以a＋b＝(a＋b)(＋) ab ab＝1＋×9＋＋9 ba 9ab≥10＋2×＝16. ba9ab 当且仅当＝，即a＝4，b＝12时取等号． ba 若a＋b≥u恒成立，所以0 |a|＋|b| 7．已知非零向量a⊥b.求证：≤2. |a－b| |a|＋|b| 因为a⊥b，所以a·b＝0.要证≤2， |a－b|只需证|a|＋|b|≤2|a－b|. 平方得|a|2＋|b2|＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)， 只需证|a|2＋|b2|－2|a||b|≥0， 即(|a|－|b|)2≥0，显然成立． 故原不等式得证． 8．(2017·江西南昌调研)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项之积为 a2016－1 Tn，并且满足条件：a1>1，a2016a2017>0，<0，下列结论中正确的是(C) a2017－1 A．q<0 B．a2016a2018－1>0 C．T2016是数列{Tn}中的最大项 D．S2016>S2017 a1>1，a2016a2017>0，得q>0. 由a2016－1 <0，a1>1，得a2016>1，a2017<1,0 a2017－1 故数列{an}的前2016项都大于1，从2017项起都小于1， 因此T2016是数列{Tn}中的最大项．故选C. 9．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是 ①③④⑤ .(写出所有正确命题的编号) ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点； ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点； ④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 1 令y＝x＋满足①，故①正确；若k＝2，b＝2，y＝2x＋2过整点(－1,0)，所 2以②错误；设y＝kx是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1，y1)，(x2，y2)，则有y1＝kx1，y2＝kx2，两式相减得y1－y2＝k(x1－x2)，则点(x1－x2，y1－y2)也在直线y＝kx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移y＝kx得对于y＝kx＋b也成立，所以③正确；④正确；直线y＝2x恰过一个整点，⑤正确． 10．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn； Sn(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． n ??a1＝2＋1， (1)由已知得?所以d＝2， ??3a1＋3d＝9＋32， 故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)． Sn(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋2. n 2 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bq＝bpbr. 即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)， 所以(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0. 因为p，q，r∈N*， 2 ?p＋r2?q－pr＝0，所以?所以()＝pr，所以(p－r)2＝0， 2 ?2q－p－r＝0，? 所以p＝r.这与p≠r矛盾． 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
2020年高考数学第46讲 直接证明与间接证明
