第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[备考方向要明了]
考 什 么 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，怎 么 考 1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 但作为解析几何的基础，复习时要加深理解． 2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.
[归纳·知识整合]
1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角
①一个前提：直线l与x轴相交； 一个基准：取x轴作为基准；
两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°. ③倾斜角的取值范围为[0，π)．
2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012年浙江T3等． 3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点： (1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主． (2)主要是涉及直线方程和斜率. (2)直线的斜率
①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_α.
y2－y1②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝.
x2－x1[探究] 1.直线的倾角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？
ππ
θ≠?知，当 θ∈?0，?时，θ越大，斜率越大且提示：这种说法不正确．由k＝tan θ??2??2?π?
为正；当θ∈??2，π?时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．
2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系
[探究] 2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？ 提示：不正确，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．
3．直线方程的几种形式 名称 点斜式 斜截式 条件 斜率k与点(x0，y0) 斜率k与截距b 两点 两点式 (x1，y1)， (x2，y2) 截距式 截距a与b 方程 y－y0＝ k(x－x0) y＝kx＋b y－y1＝y2－y1 x－x1x2－x1xy＋＝1 abAx＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 一般式 [探究] 3.过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？ 提示：当x1＝x2，或y1＝y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)若直线x＝2的倾斜角为α，则α( ) A．等于0
π
B．等于
4
π
C．等于
2
D．不存在
π
解析：选C 因为直线x＝2垂直于x轴，故其倾斜角为.
2
2．(教材习题改编)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A．1 C．1或3
B．4 D．1或4
4－m
解析：选A 由题意知，＝1，解得m＝1.
m＋23．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( ) A．x－y－3＝0 C．x＋y＋3＝0
3－1
解析：选B 直线斜率为＝－1，
0－2其方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
4．直线l的倾斜角为30°，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1＝________；若直线l2⊥l，则直线l2的斜率k2＝__________.
解析：∵l1∥l2，∴kl1＝tan 30°＝1
∵l2⊥l，∴kl2＝－＝－3.
kl答案：
3
－3 3
3. 3
B．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x等于________． 解析：因为kAB＝
7－5x－5x－5
＝2，kAC＝＝－.
44－3－1－3
x－5
＝2， 4
A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即－解得x＝－3. 答案：－3
[例1] (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
直线的倾斜角和斜率 A．[0，π) π0，? C.??4?
π3π
0，?∪?，π? B.??4??4?ππ
0，?∪?，π? D.??4??2?
(2)已知两点A(m，n)，B(n，m)(m≠n)，则直线AB的倾斜角为________；
(3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
[自主解答] (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈π3π
[0，π)，所以0≤θ ≤或≤ θ<π.
44
(2)设直线AB的倾斜角为θ，斜率为k，则 m－n
k＝tan θ＝＝－1.
n－m又θ∈[0，π)， 3π
所以θ＝.
4(3)如右图，∵kAP＝kBP＝
1－0
＝1， 2－1
3－0
＝－3， 0－1
∴k∈(－∞，－3 ]∪[1，＋∞)．
3π
[答案] (1)B (2) (3)(－∞，－3 ]∪[1，＋∞)
4
若将P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围． 解：∵P?－1，0?，A?2，1?，B?0，3?， ∴kPA＝
1－03－01
＝，kPB＝＝3.
2－?－1?30－?－1?
借助图形可知，直线l的斜率的取值范围为?，3?.
3—————
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斜率的求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率； y2－y1(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x≠x)
x2－x112
求斜率．
?1???1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.3
3
B.3 D．－
3 3
C．－3
解析：选A 设直线l的斜率为k， sin 30°3
则k＝－＝.
cos 150°3
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
1A. 33C．－
2
1B．－
32D. 3
解析：选B 设P(x,1)，Q(7，y)，则x＋7＝2,1＋y＝－2， 1－?－3?1
解得x＝－5，y＝－3，从而kl＝＝－.
3－5－7
[例2] 若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________. [自主解答] 因为两直线平行， 所以有a(a－1)＝2，
即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1. [答案] 2或－1 —————
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直线的平行与垂直的判断及应用 用一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程 l1与l2垂直 的充要条件 l1与l2平行 的充分条件 l1与l2相交 的充分条件 2l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B1≠0) 2l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B2≠0) A1A2＋B1B2＝0 A1B1C1＝≠(ABC≠0) A2B2C2222A1B1≠(AB≠0) A2B222
高三数学一轮复习( 知识点归纳与总结)：直线的倾斜角与斜率直线的方程
