高中的常见函数图像及基本性质
常见函数性质汇总及简单评议对称变换
常数函数 f(x)=b (b∈R)
1)、y=a 与 x=a 的图像与走势
2)、图象及其性质:函数f(x)的图象就是平行于x轴或与x轴重合(垂直于y轴)的直线
y b O f(x)=b x 一次函数 f(x)=kx+b (k≠0,b∈R)
y 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——
f(x)=kx+b 点斜式——
2)、对斜截式而言,k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势:
x 3)、|k|越大,图象越陡;|k|越小,图象越平缓 O 4)、定 义 域:R 值域:R
单调性:当k>0时 ;当k<0时
奇 偶 性:当b=0时,函数f(x)为奇函数;当b≠0时,函数f(x)没有奇偶性; 反 函 数:有反函数(特殊情况下:K=±1并且b=0的时候)。 补充:反函数定义: -1例题:定义在r上的函数y=f(x); y=g(x)都有反函数,且f(x-1)与g(x)函数的图像关于y=x对称,若g(5)=2016,R 求f(4)= 周 期 性:无 5)、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法: 2)点关于直线(点)对称,求点的坐标 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数 f(x)=k (k≠0,k值不相等永不相交;k越大,离坐标轴越远) xy f(x)=图象及其性质:永不相交,渐趋平行;当k>0时,函数f(x)的图象分别在第一、第三象限;当k<0时,函数f(x)的图象分别在第二、第四象限; 双曲线型曲线,x轴与y轴分别就是曲线的两条渐近线; 既就是中心对成图形也就是轴对称图形 定 义 域:(??,0)?(0,??) 值 域:(??,0)?(0,??) ax?b cx?dx O 单 调 性:当k> 0时;当k< 0时 周 期 性:无 奇 偶 性:奇函数 反 函 数:原函数本身 补充:1、反比例函数的性质
2、与曲线函数的联合运用(常考查有无交点、交点围城图行的面积)——入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值;⑵利用斜率,数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此)
3、反函数变形(如右图)
1)、y=1/(x-2)与y=1/x-2的图像移动比较 2)、y=1/(-x)与y=-(1/x)图像移动比较
3)、f(x)=
ax?b (c≠0且 d≠0)(补充一下分离常数)
cx?d(对比标准反比例函数,总结各项内容)
高中的常见函数图像及基本性质
二次函数
一般式:f(x)?ax?bx?c(a?0) 顶点式:f(x)?a(x?k)?h(a?0) 两根式:f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0) 图象及其性质:①图形为抛物线,对称轴为 ,顶点坐标为
O x ②当a?0时,开口向上,有最低点 当a?0时。。。。。
③当 = >0时,函数图象与x轴有两个交点
( );当<0时,函数图象与x轴有一个交点( );当=0时,函数图象与x轴没有交点。
④f(x)?ax?bx?c(a?0)
2关系
2y f(x)=ax?bx?c
22 f(x)?ax(a?0)
2定 义 域:R 值 域:当a?0时,值域为( );当a?0时,值域为( ) 单 调 性:当a?0时;当a?0时、 奇 偶 性:b=/≠0
反 函 数:定义域范围内无反函数,在单调区间内有反函数 周 期 性:无 补充:
1、a的正/负;大/小与与函数图象的大致走向(所以,a决定二次函数的 )
2、
3、二次函数的对称问题:关于x轴对称;关于y轴对称;关于原点对称;关于(m,n)对称
4、二次函数常见入题考法:⑴交点(交点之间的距离) ⑵值域、最值、极值、单调性 ⑶数形结合判断图形走势(选择题)
指数函数
f(x)?a(a?0,a?1),系数只能为1。 图象及其性质:
1、恒过(0,1),无限靠近x轴;
2、f(x)?a与f(x)?()?a关于y轴对称;但均不具有奇偶性。
3、在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”——靠近关系
定 义 域:R 值 域:(0,??)
单 调 性:当a?0时;当a?0时。 奇 偶 性:无 反 函 数:对数函数f(x)?logax(a?0,a?1) 周 期 性:无 补充: 1、
2、图形变换
1/x- x
Log2与Log2ln(x-1)与lnx - 1
O x xxxf(x)=a(0?a?1) y f(x)=a(a?1)
x1ax?x对数函数(与指数函数互为反函数)
f(x)?logax(a?0,a?1) 图象及其性质:①恒过(1,0),无限靠近y轴;
②f(x)?logax与f(x)?log1x??logax关于x轴对称;
ay
f(x)=logax(a?1)
O
x
f(x)=logax(0?a?1)
③x＞1时“底大图低”;0＜x＜1时“底大图高”(理解记忆)
定 义 域:R 值 域:(0,??)
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单 调 性:当a?0时;当a?0时; 奇 偶 性:无
反 函 数:指数函数f(x)?a(a?0,a?1) 周 期 性:无 补充: 1、
x双钩函数
f(x)?x?1(变形式 ) x图象及其性质:①两条渐近线: ②最值计算: 定 义 域: 值 域:
单 调 性: 奇 偶 性:奇函数 反 函 数:定义域内无反函数 周 期 性:无
注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多,需特别注意最值得算法
幂函数(考察时,一般不会太难)
无论n取任何实数,幂函数图象必然经过第一象限,并且一
定不经过第四象限。
不需要背记,只要能够快速画出n=±1, ±1/2,±3,,1/3,0,的图象就行
注意:
掌握y=x的图像;
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掌握y=ax+bx+cx+d的图像(当a>0,当a<0时);
补充:
利用数形结合,判断非常规方程的根的取值范围。 例:P393,例题10
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函数y?f(x)图象变换
一.平移变换 二.对称变换
y=f(x)+b向上平移b个单位①y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称; y=f(x+a)向左平移a个单位y=f(x)向右a平移个单位y=f(x-a)②y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称; ③y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称;
向下平移b个单位④y＝f－1(x)与y＝f(x)关于直线y＝x对称;
⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分
y=f(x)-b高中的常见函数图像及基本性质
不变.
⑥y＝f(|x|)的图象:可将y＝f(x),x≥0的部分作出,再利用偶函数关于y轴的对称性.
三、伸缩变换
①y＝Af(x)(A＞0)的图象,可将y＝f(x)图象上每一点的纵坐标伸(A＞1)缩(0＜A＜1)到原来的A倍,横坐标不变而得到.
②y＝f(ax)(a＞0)的图象,可将y＝f(x)的图象上每一点的横坐标伸(0＜a＜1)缩(a＞1)到原来的1,纵坐标不变而得到.
四、函数及图象(大致图象) 典型例题精讲
例1:已知y＝f(x)的图象如图2—7所示,则下列式子中能作为f(x)的解析式就是(
A.x2?2|x|?1 B.x2－2|x|＋1 C.|x2－1| D.x2?2x?1
解析:当f(x)＝
x2?2|x|?1时, f(x)?(|x|?1)2?||x|?1|?
?x?1 (x?1)???1?x (0?x?1)?1?x (?1?x?0) ???(x?1) (x??1)
其图象恰好就是上图.
例2:画出函数y＝lg|x＋1|的图象.
解析:y＝lg|x＋1|???lg(x?1) (x??1).
?lg(?x?1) (x??1)aA
)
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例3:要将函数y＝2?x的图象通过平移变换得到y＝1的图象,需经过怎样的变换？
x?1x解析:y＝
＝
1－1,先沿x轴方向向左平移1个单位,再沿y轴方向向上平移1个单位,即可得到yx?11的图象. x例4:方程kx＝解析:设y＝kx
1
1?(x?2)2有两个不相等的实根,求实数k的取值范围.
②
①
y2＝1?(x?2)2
方程①表示过原点的直线,方程②表示半圆,其圆心(2,0),半径为1,如图2—9.易知当OA与半圆相切时,kOA?实根.
333 ,故当0≤k＜时,直线与半圆有两个交点,即0≤k＜时,原方程有两个不相等的333
例5:作函数f(x)＝x＋1的图象.
x分析:f(x)＝x＋1不能由已知函数图象变换得到,故需对函数f(x)的性质进行研究.
x解析:函数的定义域就是(－∞,0)∪(0,＋∞),
∵f(－x)＝－f(x),
∴f(x)就是(－∞,0)∪(0,＋∞)上的奇函数, 又|f(x)|＝|x＋
11|＝|x|＋≥2,当且仅当|x|＝1时等号成立,
|x|x∴当x>0时y≥2;当x<0时,y≤－2;
当x∈(0,1)时函数为减函数,且急剧递减;
当x∈［1,＋∞)时函数为增函数,且缓慢递增,又x≠0,y≠0,
∴图象与坐标轴无交点,且y轴就是渐近线,作出第一象限的函数的图象, 再利用对称性可得函数在定义域上的图象,如图2—10所示.
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