啊没立体几何知识点和例题讲解
一、知识点 <一>常用结论
1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转
化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化
为线线平行；（3）转化为面面平行. 3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
7.夹角公式 ：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cos〈a，b〉=|a?b|?|a|?|b|a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b212223.
8．异面直线所成角：cos??|cosa,b|=
|x1x2?y1y2?z1z2|x?y?z?x2?y2?z2212121222
（其中?（0???90）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）
9.直线AB与平面所成角：??arcsinAB?m(m为平面?的法向量).
|AB||m|10、空间四点A、B、C、P共面?OP?xOA?yOB?zOC，且 x + y + z = 1 11.二面角??l??的平面角
??arccosm?nm?n或??arccos（m，n为平面?，?的法向量）.
|m||n||m||n|12.三余弦定理：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB
所成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2. 13.空间两点间的距离公式 若
A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则
dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.
14.异面直线间的距离： d?|CD?n| (l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分|n|别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离). 15.点B到平面?的距离：d?线，A??）.
16.三个向量和的平方公式：(a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a
2222|AB?n|（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜|n|?a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a
22217. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分
?1、?2、?3别为,则有
l2?l12?l22?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
S'18. 面积射影定理 S?.(平面多边形及其射影的面积分别是S、S'，它们所在
cos?平面所成锐二面角的?).
19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对
角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球
的半径为
66a,外接球的半径为a. 12420. 求点到面的距离的常规方法是什么（直接法、体积法） 21. 求多面体体积的常规方法是什么（割补法、等积变换法）
〈二〉温馨提示：
1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围
① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次
.
② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．
〈三〉解题思路：
1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则
a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO
线∥线???线∥面???面∥面 判定性质 ????线⊥线???线⊥面???面⊥面???? 线∥线???线⊥面???面∥面 P ??O a
线面平行的判定
： 线面垂直：
a∥b，b?面?，a???a∥面? a b ?? a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥? a O α b c
线面平行的性质：
? ∥面?，??面?，????b?a∥b 面面垂直：
三垂线定理（及逆定理）：
a ⊥面?，a?面???⊥?
立体几何知识点与例题讲解、题型、方法技巧(理科)
