第1讲 坐标系
板块三 模拟演练·提能增分
[基础能力达标]
1．[2018·广东珠海模拟]在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求圆C的参数方程；
(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上一动点，试求x＋y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
解 (1)因为ρ＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6， 所以x＋y＝4x＋4y－6， 所以x＋y－4x－4y＋6＝0， 整理得(x－2)＋(y－2)＝2.
2
2
2
2
2
2
2
2
?x＝2＋2cosθ，所以圆C的参数方程为?
?y＝2＋2sinθπ??＝4＋2sin?θ＋?. 4??
(θ为参数)．
(2)由(1)可得x＋y＝4＋2(sinθ＋cosθ)
π
当θ＝，即点P的直角坐标为(3,3)时，x＋y取得最大值，其值为6.
4
??x＝4＋5cost，
2．[2018·宁波模拟]已知曲线C1的参数方程为?
?y＝5＋5sint?
(t为参数)，以坐标
原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
??x＝4＋5cost，
解 (1)将?
?y＝5＋5sint?
2
2
消去参数t，
2
2
2
化为普通方程(x－4)＋(y－5)＝25，即C1：x＋y－8x－10y＋16＝0. 将?0.
所以C1的极坐标方程为ρ－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0. (2)C2的直角坐标方程为x＋y－2y＝0.
??x＋y－8x－10y＋16＝0，
由?22
?x＋y－2y＝0，???x＝1，解得?
?y＝1?
2
2
2
22
?x＝ρcosθ，?
??y＝ρsinθ，
代入x＋y－8x－10y＋16＝0得ρ－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝
22
??x＝0，
或?
?y＝2.?
π??π??所以C1与C2交点的极坐标分别为?2，?，?2，?.
4??2??
??x＝2cosφ，
3．[2018·南通模拟]在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?
?y＝2＋2sinφ?
(φ为
参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的普通方程；
π?π?(2)直线l的极坐标方程是2ρsin?θ＋?＝53，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，
6?6?
P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解 (1)因为圆C??x＝2cosφ，
的参数方程为?
?y＝2＋2sinφ?
2
2
(φ为参数)，所以圆心C的坐标为
(0,2)，半径为2，圆C的普通方程为x＋(y－2)＝4.
(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x＋(y－2)＝4，得圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.
2
2
ρ＝4sinθ，??
设P(ρ1，θ1)，则由?π
θ＝，?6?
π
解得ρ1＝2，θ1＝.
6
π??2ρsin?θ＋?＝5??6??
设Q(ρ，θ)，则由?π
θ＝??6，
2
2
3，
π
解得ρ2＝5，θ2＝.所以|PQ|＝3.
6
4．[2018·昆明模拟]将圆x＋y＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.
(1)写出Γ的参数方程；
(2)设直线l：3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点(x，y)，依题意，得
?x＝2x1，????y＝3y1，
2
2
xx＝，??2即?yy＝??3.
11
xy?x?2?y?2
由x＋y＝1，得??＋??＝1，即曲线Γ的方程为＋＝1.
49?2??3?
2
1
21
22
??x＝2cost，
故Γ的参数方程为?
?y＝3sint?
(t为参数)．
xy??＋＝1，
(2)由?49
??3x＋2y－6＝0，
22
??x＝2，
解得?
?y＝0?
??x＝0，
或?
?y＝3.?
2?3?不妨设P1(2,0)，P2(0,3)，则线段P1P2的中点坐标为?1，?，所求直线的斜率k＝.于是3?2?32
所求直线方程为y－＝(x－1)，即4x－6y＋5＝0，化为极坐标方程，得4ρcosθ－6ρsinθ23＋5＝0.
5．[2016·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?
?x＝3cosα，
?y＝sinα
(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方π??程为ρsin?θ＋?＝22. 4??
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
?x＝3cosα，
解 (1)由曲线C1：?
?y＝sinα，
为＋y＝1. 3
x??＝cosα，得?3??y＝sinα，
即曲线C1的直角坐标方程
x2
2
π?2?由曲线C2：ρsin?θ＋?＝22，得ρ(sinθ＋cosθ)＝22，即曲线C2的直角坐标
4?2?方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
|3cosα＋sinα－4|
2
π????＝2?sin?α＋?－2?.
3
d(α)＝????
π
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标
6
?31?为?，?. ?22?
?x＝2cosφ，
6．[2018·合肥模拟]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?
?y＝sinφ2
2
(其
中φ为参数)，曲线C2：x＋y－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O) .
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
π22
(2)当0<α<时，求|OA|＋|OB|的取值范围．
2
?x＝2cosφ，
解 (1)∵?
?y＝sinφ??x＝ρcosθ，由?
?y＝ρsinθ，?
(φ为参数)，∴＋y＝1.
2
2
x2
2
得曲线C1的极坐标方程为ρ＝
2
. 2
1＋sinθ
∵x＋y－2y＝0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ. 222222
(2)由(1)得|OA|＝ρ＝，|OB|＝ρ＝4sinα， 21＋sinα222222
∴|OA|＋|OB|＝＋4sinα＝＋4(1＋sinα)－4， 22
1＋sinα1＋sinαπ222
∵0<α<，∴1<1＋sinα<2，∴6<＋4(1＋sinα)<9， 2
21＋sinα∴|OA|＋|OB|的取值范围为(2,5)．
2
2
22
(全国版)2019版高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1讲坐标系增分练
