专题2.2 函数的单调性和最值
真题回放
1.【2017高考新课标2文数8】函数f(x)?ln(x?2x?8) 的单调递增区间是（ ） A.(-?,-2) B. (-?,-1) C.(1, +?) D. (4, +?) 【答案】D
【解析】由函数定义域为；x?2x?8?0, 解得; x??2或x?4,由复合函数的单调性（同增
异减），
再结合对数函数和二次函数的单调性，得函数的单调区间为(4, +?)
【考点解读】本题求复合函数的单调区间，需优先考虑函数的定义域，再利用复合函数单调性
（同增异减）原则，分别联系对数函数和二次函数的单调性来解决．
2.【2017高考浙江文5】若函数f(x)=x+ ax+b在区间0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m（ ）
A．与a有关，且与b有关 C．与a无关，且与b无关 【答案】B
B．与a有关，但与b无关 D．与a无关，但与b有关
2
22
【考点解读】本题为考查定区间上的二次函数最值问题，可通过排查最值可能产生的位置，即；
区间的端点及对称轴处的函数值，来分析处理。
3．【2017高考新课标1文数9】已知函数f(x)?lnx?ln(2?x)，则（ ） A．f(x)在（0,2）单调递增
B．f(x)在（0,2）单调递减 D．y=f(x)的图像关于点（1,0）对称
C．y=f(x)的图像关于直线x=1对称 【答案】C
【解析】法一；由题；f?(x)=112(1?x)??(0?x?2)，可得；f(x)在（0,1）单调x2?xx(2?x)递增，在（1,2）单调递减，则A,B错误。又；f(2?x)?ln(2?x)?lnx=f(x)，所以函数图像关于直线x=1对称；则C正确，D错误。
法二；由函数定义域为（0,2），又f(x)?lnx?ln(2?x)=ln(2x-x)，由复合函数单调
性可得；f(x) 在（0,1）单调递增，在（1,2）单调递减，，则A,B错误。另t=2x-x22
关于直线x=1对称，则f(x)=lnt
关于直线x=1对称，则C正确，D错误。
【考点解读】本题以对数函数为原型，考查函数的单调性和对称性。解法一；运用导数考查函
数的单调性，联系解析式的特点发现了函数关于直线x=1对称。解法二；运用对数运算性质化为复合函数进行分析解决。
4.【2017高考山东文10】若函数exf?x?（e?2.71828是自然对数的底数）在f?x?的定义域
上单调递增，则称函数f?x?具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为（ ）
-xA .fx=2 B. f???x?=x2 C. f?x?=3-x D . f?x?=cosx
【答案】A
【考点解读】本题为新定义型问题。由题可知为考查函数的单调性，需根据所给的定义，将ex与给出的函数构造新函数exf?x?，分析其在定义域上是否单调性递增，从而做出判断。
考点分析
考点 单调性与最大（小）值 了解A 掌握B 灵活运用C C 高考对函数单调性与最值的考查要求较高，以小题的形式进行考查。一般难度为中等，要求考生能灵活运用函数的性质解决问题。纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查对函数的单调性、奇偶性、周期性的理解和运用；如比较数的大小，求函数的最值等。二是以性质为载体求值或范围问题。解决问题中要注意数形结合思想的运用。 融会贯通
题型一 函数单调性(区间)的确定
典例1.（1）(2016北京模拟)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( )
2
A．y＝－x＋1 C．y＝－(x－1) 【答案】 B
2
1
B．y＝
1－xD．y＝3
1－x
【解析】A中函数在(1，＋∞)上为减函数，C中函数在(1，＋∞)上为减函数，D中函数在(1，＋∞)为减函数．
（2）(2017天津高考模拟)函数f(x)＝log2(x－4x－5)的单调增区间为________． 【答案】(5，＋∞)
【解析】由题意知x－4x－5>0，解得x<－1或x>5，即函数f(x)＝log2(x－4x－5)的定义域为
(－∞，－1)∪(5，＋∞)，根据外层函数为单调增函数，而内层函数u＝x－4x－5＝(x－2)－9在(5，＋∞)上单调递增，所以所求函数的单调增区间为(5，＋∞).
典例2. 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f??＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，
2
2
2
2
2
?x1?
?x2?
f?x?＜0。
(1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在2,9]上的最小值。
(3)∵f?x?在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f(x)在2,9]上的最小值为f(9)。 由f??＝f(x1)－f(x2)得，
x?x1??2?
f??＝f(9)－f(3)， 3
3
?9???
而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2． ∴f?x?在2,9]上的最小值为－2． 解题技巧与方法总结
1．判断或证明函数的单调性的两种重要方法及其步骤 (1)定义法；其基本步骤是：
取值→作差(商)变形→确定符号(与1的大小)→得出结论 (2)导数法；其基本步骤是：求导函数→确定符号→得出结论 2．确定函数的单调区间的方法
(1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义来求．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易做出，可由图象的升、
降写出它的单调区间．
(3) 性质法：
a.增函数?增函数增函数，减函数?减函数减函数，增函数减函数增函数，
减函数增函数减函数；
b.函数?f?x?与函数f?x?的单调性相反； c.k?0时，函数f?x?与
kf?x?kf?x?的单调性相反（f?x??0）；
k?0时，函数f?x?与
的单调性相同（f?x??0）.
(4)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． (5)导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间．
【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较. 【变式训练】
1．(2017银川模拟) 下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e C．y＝ln x 【答案】B
－xB．y＝x D．y＝|x|
3
2．(2017大连一中)已知函数 在区间上是减函数，则实数的取值范
4
围为________． 【答案】aa?4?? 2【解析】由题意得，根据复合函数的单调性法则可知，内层函数g(x)?x?ax?a在2,???上是单调增函数且
，即?a?2，且g(a)?0，综合可得a?4 23．试讨论函数f(x)＝ 【答案】 见解析
ax2
x－1
，x∈(－1,1)的单调性(其中a>0)．
引申探究
本题(3)中，若改变条件a>0为
，如何确定函数f(x)在(－1,1)的单调性？
【解析】由题需类讨论；当a>0时，由上得函数f(x)在(－1,1)上为减函数； 当a=0时，f(x)=0，函数f(x)在(－1,1)上无单调性； 当a<0时, 设－1 2 a(x2－x1)(x1x2＋1) 22 (x1－1)(x2－1) 2 ∵－1 综上可得；当a>0时；f(x)在(－1,1)上为减函数，当a=0时；f(x)在(－1,1)上无单调性， 当a<0时,； f(x)在(－1,1)上为增函数。 知识链接： 1 函数单调性的定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升 自左向右看图象是下降 5
2018年高考数学一轮总复习 专题2.2 函数的单调性和最值练习(含解析)文
