高中数学练习：空间点、直线、平面之间的位置关系
基础巩固(时间：30分钟)
1.(遂宁模拟)直线l不平行于平面α，且l?α，则( B ) (A)α内的所有直线与l异面 (B)α内不存在与l平行的直线 (C)α内存在唯一的直线与l平行 (D)α内的直线与l都相交
解析：如图，设l∩α=A，α内的直线若经过A点，则与直线l相交;若不经过点A，则与直线l异面.
2.设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( D ) (A)若AC与BD共面，则AD与BC共面
(B)若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 (C)若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC (D)若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
解析：ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形，故D不成立.
3.(周口月考)如图所示的是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是( D )
解析：A中PS∥QR，故共面;B中PS与QR相交，故共面;C中四边形PQRS是平行四边形，故共面.
4.(咸阳模拟)已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题： ①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都 相交. ②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面. ③α⊥β，α∩β=l，m?α，n?β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直.
④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交. 则四个结论中正确的个数为( B ) (A)1
(B)2
(C)3
(D)4
解析：①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论;②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论;③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得 a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l;④正确.
5.(潮州模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( B )
(A)1 (C)3
(B)2 (D)4
解析：有2条：A1B和A1C1.
6.(全国Ⅱ卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( C ) (A)
(B)
(C)
(D)
解析：如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.
在Rt△ABE中，设AB=2， 则BE=
，则tan∠EAB=
=
，
.故选C.
所以异面直线AE与CD所成角的正切值为
7.设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c;
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c;
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交;
④若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线.
上述命题中正确的命题是 (写出所有正确命题的序号).
解析：由公理4知①正确;当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错;当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错;a?α，b?β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错. 答案：①
8.(宁德模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行; ②BD与MN为异面直线; ③GH与MN成60°角; ④DE与MN垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是 .
解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
答案：②③④
能力提升(时间：15分钟)
9.(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为( A ) (A)
(B)
(C)
(D)
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由题意，直线m∥BD，直线n∥A1B，
又△A1DB为等边三角形，∠DBA1=60°，sin 60°=所以m，n所成角的正弦值为
，故选A.
，
10.(茂名一模)如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
①AF⊥GC;
②BD与GC为异面直线且夹角为60°; ③BD∥MN;
④BG与平面ABCD所成的角为45°. 其中正确的个数是( B ) (A)1
(B)2
(C)3
(D)4
解析：将正方体展开图还原成正方体，①如图知AF与GC异面垂直，故①正确;
②显然BD与GC为异面直线，连接MB，MD.则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确;③显然BD与MN异面垂直，故③错误;④显然GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形.所以BG与平面ABCD所成的角不是45°，故④错误.故选B. 11.(长春模拟)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，棱异面，则a的取值范围是( A ) (A)(0，(C)(1，
) (B)(0，) (D)(1，
) )
和a，且长为a的棱与长为
的
解析：如图所示，令AB=同理EC=
，CD=a，设点E为AB的中点，则ED⊥AB，EC⊥AB，则ED=
，所以0 . =， .由构成三角形的条件知0 12.(百色月考)不在同一条直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A?α，给出以下三个结论： ①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交，其中正确的结论是 . 解析：如图所示，三点A，B，C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①. 答案：① 13.(鹤岗模拟)已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为，则= . 解析：过A作圆柱的母线AD，连接OD，则AD=l，OD=r，且△ODA为直角三角形，且∠OAD为异面直线BC与OA所成的角. 所以∠OAD=，
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