解得0
43
此时选择项一．
③当??(0.08??1)4．
此时选择项二． 【考点】
离散型随机变量的期望与方差 【解析】
（1）由题意??1～??(20,???)，由此能求出盈利的天坑院数的均值．
（2）若投资项目二，求出??2的分布列，由此能求出盈利的均值??(??2)． （3）若盈利，则每个天坑院盈利0.2×40%＝0.08（百万元），投资建设20个天坑院，盈利的均值为??(0.08??1)＝1.6??（百万元）.??(0.08??1)=0.082??(??1)=0.128??(1???)，??(??2)＝10.24??(1???)，由此分类讨论能求出结果． 【解答】
由题意??1～??(20,???)，
则盈利的天坑院数的均值??(??1)＝20??． 若投资项目二，则??2的分布列为： ??2 2 ?1.2 ?? ?? 1???
盈利的均值??(??2)＝2???1.2(1???)＝3.2???1.2．
若盈利，则每个天坑院盈利0.2×40%＝0.08（百万元），
所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为??(0.08??1)＝0.08??(??1)＝0.08×20??＝1.6??（百万元）．
??(0.08??1)=0.082??(??1)=0.082×20??(1???)＝0.128??(1???)，
??(??2)=(2?3.2??+1.2)2??+(?1.2?3.2??+1.2)2(1???)=10.24??(1???)， ①当??(0.08??1)＝??(??2)时，1.6??＝3.2???1.2， 解得??=．??(0.08??1)
43
3
②当??(0.08??1)>??(??2)时，1.6??>3.2???1.2， 解得0
③当??(0.08??1)4． 此时选择项二．
设中心在原点??，焦点在??轴上的椭圆??过点??(√3,2)，??为??的右焦点，⊙??的方程为??2+??2?2√3??+
114
1
3
3
=0．
（1）求??的方程；
（2）若直线??:??=??(???√3)(??>0)与⊙??相切，与⊙??交于??、??两点，与??交于??、??两点，其中??、??在第一象限，记⊙??的面积为??(??)，求(|????|?|????|)???(??)取最大值时，直线??的方程．
试卷第16页，总23页
【答案】 设??的方程为
3
??2??2
+
??2??2
=1(??>??>0)．
由题设知??2+4??2=1①
因为⊙??的标准方程为(???√3)2+??2=4， 所以??的坐标为(√3,0)，半径??=2． 设左焦点为??1，则??1的坐标为(?√3,0)．
由椭圆定义，可得2??＝|????1|+|????|=√[√3?(?√3)]2+(?0)2+
21
1
1
1
√(√3?√3)2+(?0)2②
2由①②解得??＝2，??＝1． 所以??的方程为
??24
1
+??2=1．
由题设可知，??在??外，??在??内，??在⊙??内，??在⊙??外，在直线??上的四点满足|????|＝|????|?|????|，|????|＝|????|?|????|．
??=??(???√3)2222
由{??2 消去??得(1+4??)???83????+12???4=0 √2
+??=14因为直线??过椭圆??内的右焦点??，
所以该方程的判别式△>0恒成立． 设??(??1,???1)，??(??2,???2)
由韦达定理，得??1+??2=1+4??2，??1??2=
+??2)[(??1
)28√3??2
12??2?41+4??2．
4??2+4
|????|=√(1+??2?4??1??2]=2 4??+1又因为⊙??的直径|????|＝1，
所以|????|?|????|＝|????|?|????|?(|????|?|????|)＝|????|?|????|＝|????|?1=??=??(???√3)可化为????????√3??=0． 因为??与⊙??相切，所以⊙??的半径??=所以??(??)＝????=
2
3????2
√3??， √??2+134??2+1
．
??2+1
．
9????2
9????2
9??
14??2+2+5??所以(|????|?|????|)???(??)=(4??2+1)(??2+1)=4??4+5??2+1=当且仅当4??2=??2，即??=因此，直线??的方程为??=
1
√2时等号成立． 2
≤
9??2√4??2?
1+5??2=??．
√2(??2
?√3)．
试卷第17页，总23页
【考点】 椭圆的应用 椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系 【解析】
（1）根据题意求得焦点坐标，利用两点之间的距离公式，求得??的值，求得椭圆方程； （2）设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理，及点到直线的距离公式求得
(|????|?|????|)???(??)的表达式，利用基本不等式即可求得(|????|?|????|)???(??)的最大值，且能求得直线方程． 【解答】
设??的方程为??2+??2=1(??>??>0)． 由题设知??2+4??2=1①
因为⊙??的标准方程为(???√3)2+??2=，
41
3
1??2
??2
所以??的坐标为(√3,0)，半径??=．
2
1
设左焦点为??1，则??1的坐标为(?√3,0)．
由椭圆定义，可得2??＝|????1|+|????|=√[√3?(?√3)]2+(?0)2+
21
√(√3?√3)2+(?0)2②
2
1
由①②解得??＝2，??＝1． 所以??的方程为4+??2=1．
由题设可知，??在??外，??在??内，??在⊙??内，??在⊙??外，在直线??上的四点满足|????|＝|????|?|????|，|????|＝|????|?|????|．
??=??(???√3)2222
由{??2 消去??得(1+4??)???83????+12???4=0 √2
+??=14因为直线??过椭圆??内的右焦点??， 所以该方程的判别式△>0恒成立． 设??(??1,???1)，??(??2,???2)
由韦达定理，得??1+??2=1+4??2，??1??2=
8√3??2
12??2?41+4??2
??2
．
试卷第18页，总23页
4??2+4
|????|=√(1+??2?4??1??2]=2 4??+1又因为⊙??的直径|????|＝1，
+??2)[(??1
)2所以|????|?|????|＝|????|?|????|?(|????|?|????|)＝|????|?|????|＝|????|?1=4??2+1． ??=??(???√3)可化为????????√3??=0． 因为??与⊙??相切，所以⊙??的半径??=所以??(??)＝????=??2+1．
所以(|????|?|????|)???(??)=(4??2+1)(??2+1)=4??4+5??2+1=当且仅当4??2=
1??2
9????2
9????2
9??
1
4??2+2+5
??
3
√3??， √??2+12
3????2
≤
9??2√4??2?
1+5??2
=??．
，即??=
√2
时等号成立． 2
因此，直线??的方程为??=
√2(??2
?√3)．
已知函数??(??)＝ln(2??+??)(??>0,???>0)，曲线??＝??(??)在点（1,???(1)）处的切线在??轴上的截距为ln3?3． （1）求??；
（2）讨论函数??(??)＝??(??)?2??(??>0)和?(??)=??(??)?2??+1(??>0)的单调性；
（3）设??1=，????+1＝??(????)，求证：
52
5?2??+12??
2??
2
<
1????
?2<0(??≥2)．
【答案】
对??(??)＝ln(2??+??)求导，得??′(??)=2??+??． 因此??′(1)=2+??．又因为??(1)＝ln(2+??)，
所以曲线??＝??(??)在点(1,???(1)处的切线方程为???ln(2+??)=2+??(???1)， 即??=2+????+ln(2+??)?2+??．
2
2
2
2
2
试卷第19页，总23页
由题意，ln(2+??)?
22+??
=ln3?．
3
2
显然??＝1，适合上式．
令??(??)=ln(2+??)?2+??(??>0)， 求导得??′(??)=2+??+(2+??)2>0， 因此??(??)为增函数：故??＝1是唯一解．
由（1）可知，??(??)＝ln(2??+1)?2??(??>0)，?(??)=ln(2??+1)?2??+1(??>0)， 因为??′(??)=2??+1?2=?2??+1<0， 所以??(??)＝??(??)?2??(??>0)为减函数． 因为?(??)=2??+1?(2??+1)2=(2??+1)2>0， 所以?(??)=??(??)?1+2??(??>0)为增函数．
证明：由??1=5，????+1＝??(????)＝ln(2????+1)，易得????>0.
2
5?2??+12??2??
2
2
4??
2
4??
2??
1
22
??
1
2??5
由（2）可知，??(??)＝??(??)?2??＝ln(2??+1)?2??在(0,?+∞)上为减函数． 因此，当??>0时，??(??)
令??＝?????1(??≥2)，得??(?????1)<2?????1，即????<2?????1． 因此，当??≥2时，????<2?????1<2?????2
5?2??+12??
2
???1
??1=
2??5
．
<
1
1????
?2成立．
下面证明：
????
?2<0．
2??
2??
方法一：由（2）可知，?(??)=??(??)?2??+1=ln(2??+1)?2??+1在(0,?+∞)上为增函数． 因此，当??>0时，?(??)>?(0)＝0， 即??(??)>
1
2??2??+11
>0．
因此??(??)<2??+1， 即??(??)?2<2(???2)． 令??＝?????1(??≥2)，得??(??即???2<2(??
??
111
1
???1
?2<2(??)
11
???1
?2)，
111
???1
?2)．
1
1
1
2??()5
当??＝2时，???2=???2=??(??)?2=
??
2
1
1
?2=ln1.8?2．
1
因为ln1.8>ln√3>ln√??=2， 所以ln1.8?2<0，所以???2<0．
2
1
11
试卷第20页，总23页
2019-2020学年山东省枣庄市高三(上)期末数学试卷
